1.2.3 第2课时 充要条件 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

第2课时　充要条件 情境导入 课程标准 　　 我们学习了充分条件与必要条件,知道了导致结论成立的条件可能不唯一,同样的条件也可能得出不同的结论,还有条件和结论唯一的结构。在我们生活中,也有很多类似的问题,如开关A闭合与灯泡B亮的关系,让我们一探究竟吧! 通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系。 自主预习明新知 　 知识点、充要条件 　　1.一般地,如果p⇒q且qp,则称p是q的充分不必要条件。 2.一般地,如果pq且q⇒p,则称p是q的必要不充分条件。 3.一般地,如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分必要条件,简称充要条件,记作p⇔p。 微思考 　　p是q的充要条件与q是p的充要条件的意义相同吗? 提示:不相同,“若p,则q”与“若q,则p”不是相同的命题,它们的条件与结论是不一样的。 合作探究攻重难 　 类型一　充要条件的判断 　　【例1】　判断下列各题中,p是否为q的充要条件? (1)设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),p:二次函数的图像开口向上,q:a>0; (2)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0; (3)p:|x|>3,q:x2>9。 解　(1)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),其图像开口向上⇔a>0,所以p是q的充要条件。 (2)若a2+b2=0,则a=b=0,即p⇒q; 若a=b=0,则a2+b2=0,即q⇒p,故p⇔q, 所以p是q的充要条件。 (3)由于p:|x|>3⇔q:x2>9, 所以p是q的充要条件。 　　判断p是q的充分必要条件的两种思路 (1)命题角度:判断p是q的充分必要条件,主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立。若p⇒q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;若q⇒p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件;若二者都成立,则p与q互为充要条件。 (2)集合角度:关于充分条件、必要条件、充要条件,当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时,也可以从集合角度去判断,结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解,这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的。 【变式训练】　下列各题中,p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)? (1)p:x≠0,q:x+|x|>0; (2)p:a>0,q:关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解; (3)p:ab>0,a,b∈R,q:|a+b|=|a|+|b|; (4)p:c=0,q:y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过原点。 解　(1)因为由x≠0推不出x+|x|>0,如x=-1≠0,但是x+|x|=0,所以pq,由x+|x|>0可得x>0,可推出x≠0,所以q⇒p,所以p是q的必要不充分条件。 (2)当a>0时,关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解x=-,所以p⇒q,若关于x的方程ax+b=0(a,b∈R)有唯一解,则a≠0,推不出a>0,所以qp,所以p是q的充分不必要条件。 (3)当ab>0时,|a+b|=|a|+|b|成立,所以p⇒q,因为a=0时,也有|a+b|=|a|+|b|,所以qp,所以p是q的充分不必要条件。 (4)当c=0时,函数y=ax2+bx的图像经过原点;当y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过原点时,0=a×02+b×0+c,所以c=0,所以p⇔q,所以p是q的充要条件。 类型二　充要条件的证明 　　【例2】　求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0。 证明　充分性:若a+b+c=0,则c=-a-b, 代入方程ax2+bx+c=0中, 得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0。 所以x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根。 必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个根为1, 则有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0。 所以a+b+c=0是方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件。 　　一般地,证明“p成立的充要条件为q”时,在证充分性时应以q为“已知条件”,p是该步中要证明的“结论”,即q⇒p;证明必要性时则是以p为“已知条件”,q为该步中要证明的“结论”,即p⇒q。 【变式训练】　已知a,b是实数,求证:a2-b2=1是a4-b4-2b2=1成立的充分条件。该条件是否为必要条件?试证明你的结论。 证明　因为a2-b2=1, 所以a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=(a2+b2)-2b2=a2-b2=1, 即a2-b2=1是a4-b4-2b2=1成立的充分条件; 另一方面,若a4-b4-2b2=1, 即a4-(b4+2b2+1)=0,a4-(b2+1)2=0, (a2-b2-1)(a2+b2+1)