1.2.3 第1课时 充分条件、必要条件 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

1.2.3　充分条件、必要条件 第1课时　充分条件、必要条件 情境导入 课程标准 　　 我国战国时期所著《墨经》中有这样两句话:①“有之则必然,无之则未必然”;②“无之则必不然,有之则未必然”。这两句话蕴含什么逻辑关系呢?这就是本节我们所要探讨的内容。 1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系; 2.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系。 自主预习明新知 　 知识点一、形如“如果p,那么q”的命题 命题真假 “如果p, 那么q”是真命题 “如果p, 那么q”是假命题 推出关系 由p可以推出q 由p推不出q 记法 p⇒q pq 读法 p推出q p推不出q 知识点二、充分条件与必要条件 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 知识点三、充分条件、必要条件与判定定理、性质定理的关系 　　(1)判定定理实际上是给出了一个充分条件; (2)性质定理实际上是给出了一个必要条件。 微提醒 　　用集合知识理解充分条件与必要条件:一般地,如果A={x|p(x)},B={x|q(x)},且A⊆B(如图所示),那么p(x)⇒q(x),因此也就有p(x)是q(x)的充分条件,q(x)是p(x)的必要条件。 合作探究攻重难 　 类型一　充分条件、必要条件的判断 　　【例1】　判断下列各题中,p是q的什么条件: (1)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等; (2)p:A⊆B,q:A∩B=A; (3)p:a>b,q:ac>bc。 解　(1)因为两个三角形相似两个三角形全等,但两个三角形全等⇒两个三角形相似, 所以p是q的必要条件,但不是充分条件。 (2)因为p⇒q且q⇒p, 所以p既是q的充分条件,又是q的必要条件。 (3)因为pq,且qp, 所以p是q的既不充分也不必要条件。 　　要判断p是不是q的充分条件,就要看p能否推出q,要判断p是不是q的必要条件,就要看q能否推出p。 【变式训练】　(1)已知命题p:-1<x<1,命题q:x≥-2,则p是q的 (　　) A.充分条件 B.必要条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　依题意得p⇒q成立,反之不成立。即p是q的充分条件。故选A。 答案　A (2)“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的 (　　) A.充分条件 B.必要条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由两个三角形全等可得:两个三角形面积相等。反之不成立。即“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要条件。故选B。 答案　B (3)“x<2”是“<0”的 (　　) A.充分且必要条件 B.必要条件 C.充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由<0,得x-2<0,得x<2,即“x<2”是“<0”的充分且必要条件。故选A。 答案　A 类型二　充分条件与必要条件的应用 　　【例2】　(1)已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x<3},“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　。  解析　因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,所以Q⊆P,所以即所以-1≤a≤5。 答案　[-1,5] (2)已知p:a≤x≤a+1,q:0<x<4,若p是q的充分条件,则a的取值范围是　　　　。  解析　令M={x|a≤x≤a+1},N={x|0<x<4}。因为p是q的充分条件,所以M⊆N,所以解得0<a<3。 答案　(0,3) 　　根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时,主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解。 【变式训练】　(1)若“x<m”是“x>2或x<1”的充分条件,求m的取值范围。 解　由已知条件知{x|x<m}⊆{x|x>2或x<1}, 所以m≤1。即m的取值范围为(-∞,1]。 (2)已知p:x<-3或x>1,q:x>a,且p是q的必要条件,求a的取值范围。 解　由已知条件得{x|x>a}⊆{x|x<-3或x>1},所以a≥1。即a的取值范围为[1,+∞)。 当堂检测提素养 　 1.设x∈R,则“x>2”的一个充分条件是 (　　) A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3 解析　因为x>3⇒x>2,所以x>3是x>2的一个充分条件。 答案　C 2.设x∈R,则“x>2”的一个必要条件是 (　　) A.x>1 B.x<1 C.x>3 D.x<3 解析　因为x>2⇒x>1。故选A。 答案　A 3.下列命题中,为真命题的是 (　　) A.“x2>0”是“x>0”的充分条件 B.“xy=0”是“x=0”的