1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 情境导入 课程标准 　　 一位探险家被土人抓住,土人首领说:“如果你说真话,你将被烧死,说假话,将被五马分尸。”试想想探险家该如何保命? 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定; 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。 自主预习明新知 　 知识点一、命题的否定 　　1.一般地,对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作“􀱑p”,读作“非p”或“p的否定”。 2.如果一个命题是真命题,那么这个命题的否定就是一个假命题;反之亦然。 知识点二、全称量词命题与存在量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 否定 ∃x∈M,􀱑p(x) ∀x∈M,􀱑p(x) 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题的否定是全称量词命题 微提醒 　　(1)写出一个全称量词命题或存在量词命题的否定时,通常要将命题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定。 (2)全称量词命题(或存在量词命题)与其否定的真假性恰好相反。 合作探究攻重难 　 类型一　全称量词命题的否定 　　【例1】　写出下列全称量词命题的否定,并判断真假。 (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数; (2)p:每一个四边形的四个顶点共圆; (3)p:对任意x∈Z,x2的个位数字都不等于1。 解　(1)􀱑p:存在一个能被3整除的整数不是奇数。是真命题。 (2)􀱑p:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆。是真命题。 (3)􀱑p:存在x∈Z,x2的个位数字等于1。是真命题。 　　(1)全称量词命题的否定:将全称量词变为存在量词,再否定它的结论,全称量词命题的否定是存在量词命题。 (2)对省略全称量词的全称量词命题要补回全称量词再否定。解题中若遇到省略“所有”“任何”“任意”等量词的简化形式,这时则应先将命题写成完整形式,再依据法则写出其否定形式。 【变式训练】　写出下列命题的否定。 (1)三个给定产品都是次品; (2)数列1,2,3,4,5中的每一项都是偶数; (3)任意a,b∈R,方程ax=b都有唯一解; (4)所有可以被5整除的整数,其末位数字是0。 解　(1)三个给定产品中至少有一个不是次品。 (2)数列1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数。 (3)存在a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一。 (4)存在被5整除的整数,其末位数字不是0。 类型二　存在量词命题的否定 　　【例2】　写出下列命题的否定,并判断其真假。 (1)有一个奇数不能被3整除; (2)有些三角形的三个内角都是60°; (3)∃x∈R,|x+1|≤1。 解　(1)题中命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”。这个命题是假命题,如5是奇数,但5不能被3整除。 (2)题中命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”。这个命题是假命题,如等边三角形的三个内角都是60°。 (3)题中命题的否定为“∀x∈R,|x+1|>1”。这个命题为假命题,如x=0时,不满足|x+1|>1。 　　对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词。 (2)否定结论:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等。 【变式训练】　写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假。 (1)有的素数是偶数; (2)∃x∈R,x2+x+<0; (3)至少有一个实数x,使x3+1=0。 解　(1)题中命题的否定为“所有的素数都不是偶数”。这个命题是假命题,如2是素数也是偶数。 (2)题中命题的否定为“∀x∈R,x2+x+≥0”。这个命题是真命题,因为当x∈R时,x2+x+=x+2≥0。 (3)题中命题的否定为“∀x∈R,x3+1≠0”。这个命题是假命题,因为x=-1时,x3+1=0。 用命题的否定求参数范围 　　【典例】　已知命题p:“∃x∈R,x2-2x+m≤0”是假命题,求实数m的取值范围。 【思路点拨】　命题p的否定􀱑p一定为真命题,可以通过分离参数法,转化为不等式恒成立问题,通过求最值得出m的取值范围;也可以利用二次函数的图像和性质转化为Δ与0的关系,解不等式求解。 【解】　解法一:􀱑p:∀x∈R,x2-2x+m>0,是真命题, 即m>-x2+2x=-(x-1)2+1,x∈R恒成立, 设函数y=-(x-1)2+1,由二次函数的性质知, 当x=1时,y最大值=1,所以m>y最大值=1, 即实数m的取值范围是(1,+∞)。 解法二:􀱑p:∀x∈R,x2-2x+m>0,是真命题, 设函数y=x2-2x+m,由二次函数的图像和性质知, 只需方程x2-2x+m=0的根的判别式Δ<0,即4-4m<0,得m>1, 即实数m的取值范围是(1,+∞)