1.1.3 第2课时 补集及综合应用 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教B版2019）

第2课时　补集及综合应用 情境导入 课程标准 　　 某人请客,6位客人到了4位,主人焦急地说:“该来的不来。”顿时气走了2位,主人遗憾地叹息:“不该走的又走了。”又气走一位,主人更遗憾了,自言自语地说:“我又不是说他。”这么一来,剩下的这位脸皮再厚,也待不下去了。在这个故事中,客人们不自觉地使用了一个数学概念——补集。 1.在具体情境中,了解全集的含义; 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集; 3.能使用维恩图表达集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用。 自主预习明新知 　 知识点一、全集 　　全集与子集的概念:在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,全集通常用 U表示。 知识点二、补集 自然语言 如果集合A是全集U的一个子集,则由U中不属于A的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集,记作∁UA 集合语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 续表 图形语言 性质 ①A∪(∁UA)=U;②A∩(∁UA)=⌀; ③∁U(∁UA)=A 微提醒 　　(1)全集并不是一个含有任何元素的集合,仅包含所研究问题涉及的所有元素。 (2)∁UA的三层含义:①∁UA表示一个集合;②A是U的子集,即A⊆U;③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合。 合作探究攻重难 　 类型一　补集的基本运算 　　【例1】　(1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁UA= (　　) A.⌀ B.{1,3} C.{2,4,5} D.{1,2,3,4,5} 解析　因为全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},所以∁UA={2,4,5}。故选C。 答案　C (2)若集合A=[-1,1),当S分别取下列集合时,求∁SA。 ①S=R;②S=(-∞,2];③S=[-4,1]。 解　①把集合A表示在数轴上如图所示。 由图知∁SA=(-∞,-1)∪[1,+∞)。 ②把集合S和A表示在数轴上,如图所示。 由图易知∁SA=(-∞,-1)∪[1,2]。 ③把集合S和A表示在数轴上,如图所示。 由图知∁SA=[-4,-1)∪{1}。 　　求集合补集的依据及处理技巧 (1)依据:集合补集的定义。 (2)两种处理技巧: ①当集合用列举法表示时,可借助维恩图求解; ②当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴,利用数轴分析求解。 【变式训练】　(1)已知全集U={x|x≥-3},集合A={x|-3<x≤4},则∁UA=　　　　。  解析　画出数轴(图略)知∁UA={x|x=-3或x>4}。 答案　{x|x=-3或x>4} (2)设U={0,1,2,3},A={x|x2+mx=0},若∁UA={1,2},则实数m=　　　　。  解析　由∁UA={1,2},得A={0,3},得m=-3。 答案　-3 类型二　集合交、并、补的综合运算 　　命题方向1:借助维恩图进行运算 　　【例2】　设全集U={x|x是不大于9的正整数},A,B都是U的子集,(∁UA)∩B={1,3},(∁UB)∩A={2,4,8},(∁UA)∩(∁UB)={6,9},求集合A,B。 解　U={x|x是不大于9的正整数}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},由(∁UA)∩B={1,3},(∁UB)∩A={2,4,8},(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)={6,9},画出维恩图,如图所示,由图可知A={2,4,5,7,8},B={1,3,5,7}。 　　从维恩图的角度讲,A与∁UA就是圈内和圈外的问题,由于(∁UA)∩A=⌀,(∁UA)∪A=U,所以可以借助圈内推知圈外,也可以反推。 【变式训练】　如图所示的维恩图中,A,B是非空集合,定义A*B表示阴影部分的集合。若A={x|0≤x≤2},B={y|y>1},则A*B=　　　　。  解析　A∩B={x|1<x≤2},A∪B={x|x≥0},由图可得A*B=∁(A∪B)(A∩B)={x|0≤x≤1或x>2}。 答案　{x|0≤x≤1或x>2} 　　命题方向2:借助数轴进行运算 　　【例3】　已知集合U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2},求A∩B,(∁UA)∪B,A∩(∁UB)。 解　如图所示。 因为A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2}, 所以∁UA={x|x≤-2或3≤x≤4}, ∁UB={x|x<-3或2<x≤4}。 A∩B={x|-2<x≤2}, (∁UA)∪B={x|x≤2或3≤x≤4}, A∩(∁UB)={x|2<x<3}。 　　解决与不等式有关的集合问题时,画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观,要注意求解时端点的值是否能取到。 【变式训练】