2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时）教学设计-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5.1 第2课时 直线与圆的位置关系 高中数学选择性必修第一册（人教A版） 教学目标与学科素养 课程目标 学科素养 A.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系. B.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 1.数学抽象：直线与圆的位置关系 2.逻辑推理：判断直线与圆的位置关系 3.数学运算：判断直线与圆的位置关系 4.数学建模：直线和圆的方程解决实际问题 教学重、难点 重点：判断直线与圆的位置关系 难点：直线和圆的方程解决实际问题. 教学过程 （一）情景引入 【师】“海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊。在海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着迷人的风采. 这个过程中,月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离. 【生】欣赏图片，体会数学的“美”，感悟数学来源于生活又服务于生活。 【师】前面一节课我们已经学习了如何用方程研究圆与直线的位置关系，解决直线与圆的位置关系问题，基本思路是什么呢？ 【生】解决直线与圆的位置关系，基本思路有两个，一是完全从代数角度出发，联立直线与圆的方程，消元之后，利用方程根的判别式判断实数解的个数；二是利用圆的几何性质，运用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后把它与半径作大小关系的比较，从而判断直线与圆的位置关系. 【设计意图】通过具体的情景，帮助学生回顾前面学习过的直线与圆的位置关系，同时提出运用方程思想解法问题的方法。 （二）合作探究 【师】除了数学中图形之间的位置关系，在生活中也会存在大量的位置关系，本节课我们将从实际问题出发继续研究直线与圆的位置关系. 例题.一个小岛周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内。已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处，如果轮船沿直线返航，那么它是否会有触礁危险？ 活动1：探究如何建立平面直角坐标系 【师】暗礁区域是一个圆形区域可以抽象成圆，小岛中心、轮船、港口可以用点来表示，轮船沿直线返航是否有触礁危险，这个问题如何抽象成数学问题？ 【生】此问题可以看作船的航线与暗礁所在的区域是否有交点的问题，即直线与圆的位置关系的问题. 【师】明确了所要研究的几何对象，下面我们需要建立平面直角坐标系，坐标原点、坐标轴的方向选在平面内的任意位置都可以实现几何问题的坐标化和方程化，但一定会影响后续的代数表达和代数运算，你认为建立坐标轴要遵循什么原则呢？ 【师生】坐标轴的方向一般选择已知直线所在的方向，比如水平向右，竖直向上，坐标原点可以考虑图中线与线的交点以及一些特殊点等等，圆的问题首要考虑圆心作为坐标原点. 【生】思考上述问题中应如何建立平面直角坐标系? 【设计意图】由师生合作探究得出建立平面直角坐标系的方法，既理清了知识的来龙去脉，又锻炼了学生的探究能力、合作交流能力与语言表达能力. 活动2：探究轮船是否有触礁危险 【师】请你根据自己建立的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，通过代数计算，解决轮船触礁问题. 【生】分别用代数法和几何性质法解决触礁问题. 解：以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立直角坐标系，则港口所在位置坐标（0,3），船所在位置坐标（4,0）. 则暗礁所在圆形区域边缘对应圆O的方程为,其圆心坐标(0,0),半径为2；轮船航线所在直线方程为，即. 方法一：联立直线l与圆O的方程，得,消去y,得.由Δ<0,可知方程组无解.所以直线与圆O相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险. 方法二：圆心坐标(0,0),半径为2；直线l的方程为.圆心(0,0)到直线l的距离 所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险. 【师】相信大家对用坐标法解决几何问题的过程已经明确了，要将研究的对象放在坐标系下用方程去研究，这个方法具有普适性.解析几何的创始人笛卡尔对几何的方法和代数的方法不断地作比较才创建了坐标系，我们也就有了一个全新的研究几何问题的角度和对代数表达式更直观的理解. 【设计意图】让学生用代数法和几何性质法解决直线与圆的实际问题，培养学生分析和解决综合问题的能力和计算能力. （三）归纳小结 【师】你能站在巨人的肩膀上，归纳坐标法解决几何问题的基本步骤吗？ 【生】第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数计算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 【设计意图】通过触礁问题，回顾直线与圆的位置关系相关的知识点和数学方法，让学生养成及时总结反思的好习惯，提高学生的总结