第一章 二次函数 讲义 2022—2023学年浙教版数学九年级上册

二次函数 知识点归纳 1、二次函数的定义 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫二次函数。其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 上式也被称为一元二次函数的一般式 2、二次函数的自变量的取值范围 （1）一般情况下，二次函数的自变量的取值范围是全体实数． （2）实际问题中的二次函数，其自变量的取值范围还必须使实际问题有意义． 　　如圆的面积S与圆的半径r的关系式S＝πr2是一个二次函数，自变量r的取值范围是r>0，这里r不能小于或等于0． 例题讲解 例1、下列函数中哪些是二次函数？ ①y=3x2；②；③y=－x(3＋x)；④y=ax2＋bx＋c(x为自变量)． 答案：①③是二次函数． 变式练习1 下列函数中，不是二次函数的是（　） A．　　　　　　B．y=(x＋1)(x－1) C．y=－x2－2x＋1　　　　　　　　D．y=(x－1)2－x2 答：A为y=2x2－，B为y=x2－1，D为y=x2－2x＋1－x2=－2x＋1，故D不是二次函数． 例2、当k为何值时，函数为二次函数？ 解： 由二次函数定义得 由①得k=±1； 由②得k≠1，∴k=－1， ∴当k=－1时，为二次函数． 变式练习2 若为二次函数，则m=____________． 答：m=2．∵，∴m=2． 二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象及特征 （1）如（a、b、c为常数，且a≠0）的函数，其对称轴是，顶点坐标是。可以当作公式加以记忆和运用。 （2） 求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用两种方法：配方法、公式法。 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 注：a决定函数开口方向和开口大小，c为函数与y轴交点的纵坐标（即：x=0时，y=c） │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同。 │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴。 用待定系数法求一元二次函数的一般式： 例：根据下列条件，分别求二次函数的解析式． （1）已知抛物线的顶点为（1，－2），且过点（2，3）； （2）已知抛物线经过三点（－1，2），（0，1），（2，－7）． 解： 　　（1）设抛物线的解析式为y=a(x－1)2－2， 　　把(2，3)代入上式得：3=a(2－1)2－2，∴a=5， 　　∴y=5(x－1)2－2=5x2－10x＋3． （3） 设函数的解析式为y=ax2＋bx＋c，把（－1，2），（0，1）， （2，－7）分别代入上式得： 　　 　　∴y=－x2－2x＋1． 二次函数y=ax2的图象 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象 （1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象是一条关于_______对称的_________，顶点是___________； （2）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 y=ax2 a<0 二次函数顶点式及其图形性质 函数的图象与性质 （1） 一般形如的函数称为一元二次函数的顶点式，其中（h,k）为顶点坐标 （2） 图形性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 练习1 已知二次函数图象的顶点为（－1，2），且过点（0，1.5）． 　　 求二次函数的表达式； 答案： y=(x＋1)2＋2； 练习2 如图所示．在一个圆形喷水池中心竖直安装了一根水管，在水管的顶端安一个喷水笼头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高几米？ 答案： 　　以水管所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，则顶点为（1，3），且抛物线过点（3，0）． 　　设抛物线为y=a(x－1)2＋3，把（3，0）代入得0=a(3－1)2＋3， 　　∴，∴y=(x－1)2＋3． 　　令x=0，得y=(0－1)2＋3=2.25， 　　∴水