专题09 函数的对称性(含2021-2023高考真题)-2024年新高考数学之函数专项重难点突破练（新高考专用）

专题09 函数的对称性 真题再现 一、单选题 1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且 ．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题 3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. 考点一 判断(证明)函数的对称性 一、单选题 1．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（    ） A． B． C． D． 2．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，若函数，则（    ） A．图象的对称轴为 B．图象的对称轴为 C．图象的对称中心为 D．图象的对称中心为 3．设函数的定义域为R，且是奇函数，则图像（    ） A．关于点中心对称 B．关于点中心对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 4．已知函数，则的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于原点对称 5．已知函数是定义在上的函数，那么函数的图象与函数的图象之间（    ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于直线对称 二、多选题 6．下列函数中，哪些函数的图像关于轴对称（    ） A． B． C． D． 7．已知是定义在R上的函数，函数图像关于y轴对称，函数的图像关于原点对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．对，恒成立 C．函数关于点中心对称 D． 8．已知函数定义域为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图象关于对称 B．函数与函数的图象关于对称 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 9．已知是定义在R上的函数，且，则（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线x=1对称 D．函数是以2为周期的周期函数 10．已知函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，函数的图像关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，则（    ） A．函数的对称中心是 B．函数的对称中心是 C．函数有对称轴 D．函数有对称轴 三、填空题 11．已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则函数的图象的对称中心是______. 考点二 利用对称性求函数解析式或函数值 一、单选题 1．已知定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，其中a为常数，若存在，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 3．函数的图像与函数的图像关于直线对称，其中（    ） A．3 B． C． D． 4．下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 5．下列函数与的图象关于原点对称的函数是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则（    ） A．函数的图像关于直线对称 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．曲线与关于直线对称 三、填空题 8．函数的图像关于点中心对称，则______. 9．奇函数的图像关于直线对称，，则_________. 10．已知函数满足，且当时，，则______. 11．已知定义在上的函数满足，若的图像关于直线对称，则___. 12．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”，经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，若函数，则______. 13．若函数的图像关于直线对称，则___________. 14．已知是定义在R上的函数的对称轴，当时，，则的解析式是_______． 四、解答题 15．函数是定义在上的偶函数，且对任意实数，都有成立.已知当时，. (1)当时，求函数的表达式； (2)若函数的最大值为1，当时，求不等式的解集. 16．设同时满足条件和对任意，都有成立. （1）求的解析式； （2）设函数的定义域为，且在定义域内.若函数的图象与的图象关于直线对称，求. 考点三 利用对称性研究单调性 一、单选题 1．已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知