假期作业（九） 成对数据的相关关系与一元线性回归模型及其应用-2024年新教材高二数学暑假必刷题【高考解码·过好假期每一天】

高二数学 假期作业（九）成对数据的相关关系与一元 线性回归模型及其应用 (2)川越小，说明两个变量之间的线性相关性越 >> 有问必答·固双基 (((( ,也就是得出的回归直线方程越没有价 1.相关关系 值，即方程越不能反映真实的情况；越大，说明 两个变量之间确实有一定的关系，但没有达到 两个变量之间的线性相关性越 ,也就是 可以互相决定的程度，它们之间的关系带有一 得出的回归直线方程越有价值 定的 性，这两个变量之间的关系，统计 (3)|r=1的充要条件是成对数据构成的点都 学上称为相关关系 衣 上 2.回归直线方程 >>》> 一般地，已知变量x与y的n对成对数据(x:, 典例精析·拓思维 K<K< y),i=1,2,3,…,n,任意给定一个一次函数y 【例】某运动员训练次数与训练成绩之间的数据 =bx十a,对每一个已知的x;,由直线方程可以 关系如表： 得到一个估计值 次数(.x)30333537 39444650 yi=bri+a, 成绩(Y)3034373942464851 如果一次函数y=i.x十a能使 (1)作出散点图： =2(y-)2 (2)求出经验回归方程： 取得 值，则y=bx十a (3)作出残差图； 称为y关于x的回归直线方程（对应的直线称 (4)计算R2,并说明运动员的训练次数对成绩 为 ),因为是使得平方和最小，所以其 的影响占百分之几 中涉及的方法称为 法 【解】(1)作出该运动员训练次数x与成绩Y 的散，点图，如图所示，由散，点图可知，它们之间 6=之4一x)y二 具有相关关系. 2(,-x)2 Y 60 其中，b称为回归系数.它实际上也就是回归直 线方程的斜率，回归直线方程确定之后，就可用 50 40 于预测， 30 其中，x=（m十x2十…十n)=1之x,y= n11 20- 宫： 1o/ 0102030405060x 3.回归直线方程的性质 (1)回归直线一定过点(x,y). (2)x=39.25,y=40.875,2号=12656， (2)y与x正相关的充要条件是b>0:y与x负 相关的充要条件是b<0. 2y=13180,所以宁 立xy,一8 -≈1.0415， (3)当x增大一个单位时，y增大个单位，这就 2.x2-8 是回归系数的实际意义 a=y-6.x=-0.003875, 4.相关系数统计学里一般用 所以经验回归方程为y=1.0415x-0.003875. -(y- (3)残差分析：下面的表格列出了运动员训练次 数和成绩的原始数据以及相应的残差数据. V2(x,-)22,- Y e 来衡量y与x的线性相关性 ,这里的r 30 30 -1.2411 称为线性相关系数（简称为相关系数）。 33 34 -0.3656 可以证明，相关系数r具有以下性质： 35 37 0.5514 (1)r≤1，且y与x正相关的充要条件是 ,y与x负相关的充要条件是 37 39 0.4684 16 假期作业（九） 39 42 1.3854 3.某相关变量x,y的散点图如图所示，现对这两 0.1779 个变量进行回归分析，方案一，根据图中所有数 44 46 据分析，可得到经验回归方程y=b1x十a1,样本 46 48 0.0949 相关系数为r1;方案二，剔除点(10,32)，根据剩 50 51 -1.0711 下数据分析，可得到经验回归方程y=b2x十a2: 作残差图如图所示， 样本相关系数为2.则 ( 残起 15 40----7------------- 0.5 -2 0 (10,32 0 -0.5 -∴-4.-6.8.10编号 2 ---------- -1 ⊙ -1.5- 0。 0 5 由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状 分 15 20 A.0<r1<r2<1 区域内，说明选择的模型比较合适 (4)计算R2≈0.9855，说明了该运动员的训练 B.0<r2<r1<1 次数对成绩的影响占98.55%. C.-1<r1<r2<0 【方法提升】“、残差图”在回归分析中的作用 D.-1<r2<r1<0 (1)R2是用来刻画回归效果的，由R2=1一 4.(多选)下列命题中，真命题的是 () 2(y-)2 A若样本数据1x2…1o的方差为2，则数据2x 可知R2越大，意味着残差平方和 -1,2x2-1,…2x10一1的方差为8 2(y-y)2 B.若回归方程为y=一0.45x十0.6，则变量y与x负 越小，也就是说模型的拟合效果就越好 相关 (2)残差图也是用来刻画回归效果的，判断依据 C.若随机变量X服从正态分布N(3,a2),P(X 是：残差点比较均匀地分布在水平带状区域中， ≤4)=0.64，则P(2≤X≤3)=0.07 带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方 D.在线性回归分析中相关指数R2用来