第2章 一元二次函数、方程和不等式（全章复习与测试）-【暑假预习】2023年新高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修第一册）

第2章 一元二次函数、方程和不等式全章复习与测试 【知识梳理】 1．等式的性质 2.不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c. (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc. (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d. (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)． 比较两式大小的常见方法：作差法、作商法 作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段； 第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键． 注1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较； 注2：含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断．注意分类合理恰当． 作商法： 注：在两式无法确定正负号或是否可能为0的情况下无法适用. 作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小. 3.均值不等式：≤ (1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数. 4.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 5.利用均值不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大). 6、一元二次不等式的概念及形式 (1).概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． (2).形式： ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； 3 ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 7.一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”之间的关系 (1).一元二次不等式的解集的概念： 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. (2.)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集； 若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合． (3).三个“二次”之间的关系： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式Δ ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 解不等式 f(x)>0 或f(x)< 0的步骤 求方程f(x)＝0的解 有两个不等的实数解x1，x2 有两个相等的实数解x1＝x2 没有实数解 画函数y＝f(x)的示意图 得不 等式 的解 集 f(x)>0 {x|x<x1 或x>x2} {x|x≠－} R 【考点剖析】 一．等式与不等式的性质（共3小题） 1．（2023春•钦南区校级期中）已知a、b∈R，且a＞b，则（　　） A．﹣a＜﹣b B．a2＞b2 C． D．|a|＞|b| 2．（2023•惠州模拟）已知实数a＞b＞0＞c，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D．a2＞c2 3．（2022秋•遂宁期末）若a＞b，则（　　） A．a2＞b2 B．3a＜3b C．ln（a﹣b）＞0 D．a3＞b3 二．不等关系与不等式（共3小题） 4．（2023春•宝山区期末）如果a＜b＜0，那么下列式子中一定成立的是（　　） A．a2＞ab B．a2＜b2 C． D． 5．（2023春•金东区校级期中）若a＞﹣b，则下列不等式不恒成立的是（　　） A．a+b＞0 B．|a|+b＞0 C． D．a3+b3＞0 （多选）6．（2023春•播州区校级月考）已知a＞b＞0，下列不等式中正确的是（　　） A． B．ab＞b2 C．a2＞ab D． 三．不等式比较大小（共3小题） 7．（2022秋•新化县期末）已知M＝（a+2）（a+3），N＝a2+5a+4，则（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定 8．（2022秋•鄠邑区期末）已知，n＝3x（x＜