专题05 空间几何体的表面积与体积

专题 05 空间几何体的表面积与体积 · 知识归纳 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相　　　　且　　　　  多边形 互相　　　  侧棱 　　　　　  相交于　　　　,但不一定相等  延长线交于 　　　  侧面形状 　　　　　  　　　　  　　　  (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等,　　　　于底面  相交于 　　　  延长线交于　　  轴截面 全等的 　　　  全等的 　　　　  全等的 　　　　　  　　　  侧面展开图 　　　  　　　  　　　  2.斜二测画法 (1)直观图的认识 从不同的方向观察同一个空间图形时,所看到的形状可能不一样.立体几何中,用来表示空间图形的　　　　　　,习惯上称为空间图形的直观图.  (2)用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤 ①在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x'轴和y'轴,使得它们正方向的夹角为　　　　　　　.  ②平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成　　　　　　　　　　　　　　.平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成　　　　　　　　　　　　　　　.  ③连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧=　　　  S圆锥侧=　　　  S圆台侧= 　　　　  4.空间几何体的表面积与体积公式 　　　　名称 几何体　　 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=　　　  锥体 (棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V=　　　  台体 (棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+ )h 球 S=　　　  V=　　　  　(其中柱体、锥体、台体的高为h,球的半径为R) 常用结论 1.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形面积的关系如下: S直观图=S原图形,S原图形=2S直观图. 2.多面体的内切球与外接球常用的结论: (1)设正方体的棱长为a,则它的内切球半径r=,外接球半径R=a; (2)设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则它的外接球半径R=; (3)设正四面体的棱长为a,则它的高为a,内切球半径r=a,外接球半径R=a. · 精选习题 一、单选题 1．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（    ） A． B． C． D． 2．定义：与圆锥的底面和各母线均相切的球，称为圆锥的内切球，此圆锥称为球的外切圆锥．已知某圆锥的内切球半径等于1，则该圆锥体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：“有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？”按照上述方法，截得的该正四棱台的体积为（    ）（注：1丈尺） A．11676立方尺 B．3892立方尺 C．立方尺 D．立方尺 4．在三棱锥中，，平面经过的中点，并且与垂直，当截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，球的表面积与体积分别为S1和V1，圆台的表面积与体积分别为S2和V2.则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．的最大值为 7．如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有（    ）    A．异面直线与的夹角的正弦为 B．二面角的平面角的正切值为 C．正方体的外接球体积为 D．三棱锥与三棱锥体积相等 8．如图所示的几何体，是将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底面的截面所得，且其所有棱长均为1，则（    ）    A．直线与直线所成角为 B．直线与平面所成角为 C．该几何体的体积为 D．该几何体中，二面角的余弦值为 9．已知四面体ABCD中，，，，O为其外接球球心，AO与AB，AC，AD所成的角分别为，，，有下列结论正确的是（　　） A．该四面体的外接球的表面积为 B．该四面体的体积为10 C． D． 10．如图，已知正方体的棱长为2，P为空间中一点且