第10讲 直线与圆的位置关系（十三大题型）-2023年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第10讲 直线与圆的位置关系 【题型归纳目录】 题型一：不含参数的直线与圆的位置关系 题型二：含参数的直线与圆的位置关系 题型三：由直线与圆的位置关系求参数 题型四：求直线与圆的交点坐标 题型五：求过圆上一点的切线方程 题型六：求过圆外一点的切线方程 题型七：求切线长 题型八：已知切线求参数 题型九：求弦长问题 题型十：已知弦长求参数 题型十一：切点弦问题 题型十二：最值问题 题型十三：三角形面积问题 【知识点梳理】 知识点一：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点诠释： （1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得． （2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理． （3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决． 知识点二：圆的切线方程的求法 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 【典例例题】 题型一：不含参数的直线与圆的位置关系 【例1】（2023·新疆喀什·高二校考期末）直线与圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交但直线过圆心 C．相交但直线不过圆心 D．相离 【对点训练1】（2023·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 题型二：含参数的直线与圆的位置关系 【例2】（2023·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【对点训练2】（2023·安徽亳州·高二统考开学考试）设，则直线：与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交 【对点训练3】（2023·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）直线l：与圆C：的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a的值有关 题型三：由直线与圆的位置关系求参数 【例3】（2023·浙江嘉兴·高二统考期末）直线与曲线的交点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【对点训练4】（2023·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）圆上到直线距离为的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【对点训练5】（2023·高二单元测试）直线与圆没有公共点，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 题型四：求直线与圆的交点坐标 【例4】（2023·江苏宿迁·高二统考期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【对点训练6】（2023·高二课时练习）给定四条曲线：①，②，③，④，其中与直线仅有一个交点的曲线是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 题型五：求过圆上一点的切线方程 【例5】（2023·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）过点作圆的切线，则切线的方程为__________. 【对点训练7】（2023·云南昆明·高二统考期末）圆在点处的切线方程为____________. 【对点训练8】（2023·重庆九龙坡·高二重庆市渝高中学校校考期末）圆的过点的切线方程为___________. 题型六：求过圆外一点的