第09讲 圆的方程（七大题型）-2023年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第09讲 圆的方程 【题型归纳目录】 题型一：圆的标准方程 题型二：圆的一般方程 题型三：点与圆的位置关系 题型四：轨迹问题 题型五：二元二次曲线与圆的关系 题型六：圆过定点 题型七：与圆有关的对称问题 【知识点梳理】 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 知识点五：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【典例例题】 题型一：圆的标准方程 【例1】（2023·重庆·高二统考学业考试）已知圆C的一条直径的两个端点是分别是和，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【对点训练1】（2023·福建漳州·高二校联考期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点和，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【对点训练2】（2023·高二课时练习）已知圆的圆心在轴上，半径长为，且过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【对点训练3】（2023·上海徐汇·高二上海中学校考期中）已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：圆的一般方程 【例2】（2023·高二课时练习）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【对点训练4】（2023·高二课时练习）求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（    ） A． B． C． D． 【对点训练5】（2023·高二课时练习）当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 题型三：点与圆的位置关系 【例3】（2023·高二课时练习）点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定 【对点训练6】（2023·全国·高二专题练习）点与圆的位置关系是（    ）． A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定 题型四：轨迹问题 【例4】（2023·高二课时练习）已知线段AB的端点B的坐标为，端点A在圆C：上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么． 【对点训练7】（2023·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点. (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程. 【对点训练8】（2023·高二课时练习）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.    【对点训练9】（2023·四川成都·高二校考阶段练习）已知点，，动点满足，点的轨迹为曲线C. (1)求此曲线的方程. (2)若点Q在直线：上，点为曲线C上的动点，求的最小值. 题型五：二元二次曲线与圆的关系 【例5】（2023·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）方程