第08讲 平面上的距离（十二大题型）-2023年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第08讲 平面上的距离 【题型归纳目录】 题型一：中点公式 题型二：两点距离公式 题型三：由顶点判断三角形的形状 题型四：由两点距离公式求最值 题型五：点线距离公式 题型六：面积问题 题型七：由点线距离求参数 题型八：点关于直线对称 题型九：直线关于直线对称 题型十：平行线间距离公式 题型十一：直线关于点对称 题型十二：将军饮马问题 【知识点梳理】 知识点一：中点坐标公式 若两点、，且线段的中点坐标为，则，，则此公式为线段的中点坐标公式． 知识点二：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握． 知识点三：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 知识点四：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 知识点诠释： （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 【典例例题】 题型一：中点公式 【例1】（2023·浙江·丽水外国语实验学校高一阶段练习）已知点，则线段AB的中点坐标为________． 【对点训练1】（2023·全国·高二课时练习）直线l经过已知点，且被两条已知直线截得的线段恰以P为中点，求直线l的方程． 【对点训练2】（2023·江苏·高二课时练习）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，求线段的长． 题型二：两点距离公式 【例2】（2023·江苏·高二假期作业）已知点，，则A，B两点的距离为（    ） A．25 B．5 C．4 D． 【对点训练3】（2023·广西防城港·高二统考期末）已知点，则为（    ） A．5 B． C． D．4 【对点训练4】（2023·新疆巴音郭楞·高二校考期中）已知点A、B是直线与坐标轴的交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 题型三：由顶点判断三角形的形状 【例3】（2023·高二课时练习）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 【对点训练5】（2023·江苏镇江·高二统考期中）已知，，，则是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 题型四：由两点距离公式求最值 【例4】（2023·湖北宜昌·高二校联考期中）函数的最小值是（    ） A．5 B．4 C． D． 【对点训练6】（2023·辽宁大连·高二育明高中校考阶段练习）代数式的最小值为（    ） A． B． C． D． 【对点训练7】（2023·北京·高二北京工业大学附属中学校考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型五：点线距离公式 【例5】（2023·高二课时练习）坐标原点到直线的距离是（    ） A．10 B． C． D．2 【对点训练8】（2023·贵州黔东南·高二校考阶段练习）点在直线上，为原点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【对点训练9】（2023·福建泉州·高二校考阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【对点训练10】（2023·河南濮阳·高二校考阶段练习）若点到直线的距离为（    ） A．2 B．3 C． D．4 题型六：面积问题 【例6】（2023·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）在中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为___________. 【对点训练11】（2023·高二课时练习）若过点作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积可以为______．（写出符合条件的一个答案即可） 【对点训练12】（2023·广西梧州·高二校考开学考试）已知的三个顶点是，则的