第07讲 两条直线的交点（六大题型）-2023年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第07讲 两条直线的交点 【题型归纳目录】 题型一：求直线的交点 题型二：由方程组解的个数判断直线的位置关系 题型三：由直线交点的个数求参数 题型四：由直线交点坐标求参数 题型五：三线能否围成三角形问题 题型六：直线交点系方程 【知识点梳理】 知识点一：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 【典例例题】 题型一：求直线的交点 【例1】（2023·江苏·高二假期作业）直线与直线的交点坐标是（    ） A．(2,0) B．(2,1) C．(0,2) D．(1,2) 【对点训练1】（2023·高二课时练习）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【对点训练2】（2023·天津·高二校联考期末）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ）． A． B． C． D． 题型二：由方程组解的个数判断直线的位置关系 【例2】（2023·高二单元测试）已知直线，是直线l外一点，那么直线（    ） A．过点P且与直线l斜交 B．过点P且与直线l重合 C．过点P且与直线l平行 D．过点P且与直线l垂直 【对点训练3】（2023·高二课时练习）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 题型三：由直线交点的个数求参数 【例3】（2023·广东广州·高二广州市第一一三中学校考阶段练习）直线与直线相交，则实数k的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．且 【对点训练4】（2023·江苏·高二专题练习）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【对点训练5】（2023·江苏·高二专题练习）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型四：由直线交点坐标求参数 【例4】（2023·高二课时练习）两条直线和的交点在第二象限，则m的取值范围是（　　） A．(,) B．(,0) C．(0,) D．() 【对点训练6】（2023·高二课时练习）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【对点训练7】（2023·高二课时练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 题型五：三线能否围成三角形问题 【例5】（2023·高二课时练习）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 【对点训练8】（2023·江苏徐州·高二校考期中）若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【对点训练9】（2023·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习）已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（    ） A．1 B． C．﹣2 D．﹣1 题型六：直线交点系方程 【例6】（2023·江苏·高二假期作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为___________. 【对点训练10】（2023·安徽六安·高二校考期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为_________ . 【对点训练11】（2023·全国·高二专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)过点； (3)平行于直线． 【过关测试】 一、单选题 1．（2023·高二课时练习）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·高二课时练习）若直线与互相垂直，垂足为，则的值为（   ） A．20 B．-4 C．12 D．4 3．（2023·高二课时练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 4．（20