第03讲 内切球与外接球（八大题型）-2023年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第03讲 内切球与外接球 【题型归纳目录】 题型一：正方体、长方体外接球 题型二：正四面体外接球 题型三：对棱相等的三棱锥外接球 题型四：直棱柱外接球 题型五：直棱锥外接球 题型六：正棱锥外接球以及侧棱相等锥体的外接球 题型七：垂面模型外接球 题型八：锥体内切球 【知识点梳理】 知识点一：正方体、长方体外接球 1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3、补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 知识点二：正四面体外接球 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为. 知识点三：对棱相等的三棱锥外接球 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题. 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以. 知识点四：直棱柱外接球 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 知识点五：直棱锥外接球 如图，平面，求外接球半径. 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②. 知识点六：正棱锥外接球 正棱锥外接球半径： . 由此推广：侧棱相等的锥体外接球半径： 知识点七：垂面模型外接球 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 图1 图2 知识点八：锥体内切球 方法：等体积法，即 【典例例题】 题型一：正方体、长方体外接球 【例1】（2023·天津·高一统考期中）已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为（    ） A．π B．2π C．4π D．12π 【对点训练1】（2023·河南洛阳·高一校考期中）若一个长方体的长､宽､高分别为4，，2，且该长方体的每个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型二：正四面体外接球 【例2】（2023·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期中）已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．2 【对点训练2】（2023·广西北海·高一统考期末）已知正四面体的外接球体积为，则正四面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型三：对棱相等的三棱锥外接球 【例3】（2023·陕西宝鸡·高一统考期末）已知三棱锥，，，，则三棱锥外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 【对点训练3】（2023·河北邢台·高一校考期末）在三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型四：直棱柱外接球 【例4】（2023·重庆·高一校联考期中）设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积为，，则此直三棱柱的高是（    ） A．1 B．2 C． D．4 【对点训练4】（2023·安徽·高一安徽省宿松中学校联考期中）设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（    ） A． B． C． D． 题型五：直棱锥外接球 【例5】（2023·河北沧州·高一校联考期中）已知三棱锥，底面ABC，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【对点训练5】（2023·湖南衡阳·高一湖南省祁东县第二中学校考期中）《九章算术》中，将四个面都为直