第09讲 二次函数与一元二次方程、不等式（9种题型）-【暑假预习】2023年新高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修第一册）

第09讲 二次函数与一元二次方程、不等式（9种题型） 【知识梳理】 一、一元二次不等式的概念及形式 (1).概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． (2).形式： ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 2、 一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”之间的关系 (1).一元二次不等式的解集的概念： 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. (2.)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集； 若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合． (3).三个“二次”之间的关系： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式Δ ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 解不等式 f(x)>0 或f(x)< 0的步骤 求方程f(x)＝0的解 有两个不等的实数解x1，x2 有两个相等的实数解x1＝x2 没有实数解 画函数y＝f(x)的示意图 得不 等式 的解 集 f(x)>0 {x|x<x1 或x>x2} {x|x≠－} R f(x)<0 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【考点剖析】 题型一：一元二次不等式的概念及辨析 例1.关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【变式1】关于的一元二次不等式与的解集分别为，则“”是“”的（       ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式2】一元二次不等式的一般形式：ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，其中a，b，c均为____ 题型二：一元二次不等式的解法 例2.不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C． D． 【变式1】.. 【变式2】； 【变式3】求下列不等式的解集. （1）； （2）； （3）； （4）； 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 例3.函数在上是减函数，则实数a的取值范围是___________ 【变式1】若关于的不等式的解集是，则________，_______. 【变式2】解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0. 【变式3】已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集. 题型四：一元二次方程根的分布问题 例4.关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）一元二次方程有正数根的充分不必要条件是（       ） A． B． C． D． 【变式2】方程的两根都大于，则实数的取值范围是_____． 【变式3】方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为_______ ． 【变式4】求实数的范围，使关于的方程 (1)有两个实根，且一个比大，一个比小； (2)有两个实根，且满足； (3)至少有一个正根. 【变式5】命题关于的方程有两个相异负根；命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围． 题型五：一元二次不等式与二次函数、一元二次方程关系 例5.（多选）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则（       ） A．a2－b2≤4 B．a2＋≥4 C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0 D．若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4 【变式1】已知不等式的解集是，，则不等式的解集是____________. 【变式2】二次函数的部分对应值如下表： 3 4 21 12 5 0 5 则关于x的不等式的解集为__________． 【变式3】已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为_________. 【变式4】已知函数，设，，若成立，则实数的最大值是_______ 【变式5】已知，试写出两个一元二次不等式，使它们的解集分别为： (1)； (2)． 【变式6】利