第1讲 集合-2024年高考一轮复习知识清单与题型专练

第1讲　 集合 1、 基础知识 1.集合及其表示方法 (1)集合元素的性质:　　　　、　　　　、无序性.  (2)集合与元素的关系:①属于,记为　　　　;②不属于,记为　　　　.  (3)集合的表示方法:列举法、　　　　、　　　　和区间法.  (4)常见数集及记法 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 　　　  　　　  　　　  　　　  　　　  2.集合的基本关系 文字语言 符号语言 记法 基本 关系 子集 集合A的　　　　　都是集合B的元素  x∈A⇒x∈B A⊆B或 　　  真子集 集合A是集合B的子集,并且B中　　有一个元素不属于A  A⊆B,∃x0∈ B,x0∉A A　  B或 B⫌ A 相等 集合A,B的元素完全　　  A⊆B,B⊆A 　　  空集 　　　任何元素的集合,空集是任何集合的子集  ∀x,x∉⌀, ⌀⊆A ⌀ 备注 若A不是B的子集,则记作A⊈B(或B⊉A),读作“A不包含于B”(或“B不包含A”) 3.集合的基本运算 　表示 运算 　 文字语言 符号语言 图形语言 记法 交集 属于A　　属于B的元素组成的集合  {x|x∈A, 　　x∈B}  　　  并集 属于A  属于B的元素组成的集合 {x|x∈A, 　　x∈B}  　　  补集 全集U中　　属于A的所有元素组成的集合  {x|x∈U, x　 　A}  　　  4.集合的运算性质 (1)交集的运算性质:A∩B=B∩A;A∩A=A;A∩⌀=⌀∩A=⌀;A∩B=A⇔A　　　　B.  (2)并集的运算性质:A∪B=　　　　;A∪A=A;A∪⌀=⌀∪A=A;A∪B=　　　　⇔B⊆A.  (3)补集的运算性质:A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=　　　　;  ∁U(∁UA)=　　　　;∁U(A∪B)=(∁UA)　　　　(∁UB);∁U(A∩B)=　　　　∪　　　　.  2、 常用结论 (1)集合的关系 ①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集. ②任何一个集合是它本身的子集. ③子集的传递性:A⊆B,B⊆C,则A⊆C(真子集也满足). ④若A⊆B,则有A=⌀和A≠⌀两种可能. (2)子集个数和元素个数 ①集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集. ②集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中). (3)集合的运算 A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB. 3、 分类训练 探究点一　集合及其表示 例1 (1)[2020·济南章丘四中模拟] 若集合A={1,2,3},B={(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A},则集合B中的元素个数为 (　　) A.9 B.6 C.4 D.3 (2)非空有限数集S满足:若a,b∈S,则必有a2,b2,ab∈S.则满足条件且含有两个元素的数集S=　　　　.(写出一个即可)  [总结反思] 解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素是什么;二是看这些元素的限制条件是什么;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性. 变式题 (1)[2020·榆林模拟] 设集合A=[0,m],若1∈A且2∉A,则实数m的取值范围是　　　　.  (2)[2020·武汉一模] 用列举法表示集合:A=xx∈Z,且∈N=　　　　.  探究点二　集合的基本关系 例2 (1)[2020·西安模拟] 若集合M=xx=+k·,k∈Z,N=xx=+k·,k∈Z,则 (　　) A.M=N B.M⫋N C.N⫋M D.M∩N=⌀ (2)[2021·新高考八省联考] 已知M,N均为R的子集,且∁RM⊆N,则M∪(∁RN)=(　　) A.⌀ B.M C.N D.R [总结反思] (1)一般利用数轴法、维恩图法以及结构法判断两集合的关系,如果集合中含有参数,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数进行分类讨论. (2)确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集,空集是非空集合的真子集. (3)根据集合的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系. 变式题 (1)[2020·大连一模] 设集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},若A=B,则a2021+b2021的值为 (　　) A.0 B.-1 C.-2 D.0或-1 (2)[2021·新高考八省联考]