3.1.2 椭圆的简单几何性质（第三课时 弦中点、中点弦问题）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的简单几何性质 （第三课时） 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 距离最远、最近问题 设与已知直线l平行的直线系，求与椭圆相切的直线l1,l2，转化为求平行线之间的距离，一个是最远距离、一个是最近距离。 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 椭圆的弦中点、中点弦问题 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 点与椭圆位置关系的判断方法 直线与椭圆的位置关系 通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，对解的个数进行讨论．通常消去方程组中的一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程． (1)Δ＞0⇔直线与椭圆相交⇔有两个不同的公共点； (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点； (3)Δ＜0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点． 在三种位置关系中，相交时求相交弦长，相离时求最远、最近距离(转化为相切问题)是常见题目类型． 弦长问题 通常将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用根与系数的关系求弦长，从而绕过求直线与椭圆的交点坐标．若直线y＝kx＋m与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)，或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2). 例1　已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A，B两点，弦AB的中点坐标为M(1，1)，求直线AB的方程． 【解析】　方法一：设通过点M(1，1)的直线AB的方程为y＝k(x－1)＋1， 代入椭圆方程，整理得 (9k2＋4)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0. 则Δ＝32k2＋8k＋12＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,8))) eq \s\up12(2)＋eq \f(23,2)＞0. 设A，B的横坐标分别为x1，x2，则 eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(－18k（1－k）,2（9k2＋4）)＝1，解得k＝－eq \f(4,9). 故AB的方程为y＝－eq \f(4,9)(x－1)＋1，即4x＋9y－13＝0. 方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x12＋9y12＝36，　　　　　①,4x22＋9y22＝36.　　　　　②)) ②－①，得 4(x2－x1)(x2＋x1)＋9(y2－y1)(y2＋y1)＝0. ∵M为AB中点，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2. ∴4(x2－x1)＋9(y2－y1)＝0. ∴eq \f(y2－y1,x2－x1)＝－eq \f(4,9)，即kAB＝－eq \f(4,9). 由点斜式得AB的方程为 y－1＝－eq \f(4,9)(x－1)， 即4x＋9y－13＝0. 例1　已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A，B两点，弦AB的中点坐标为M(1，1)，求直线AB的方程． 总结 中点弦问题通常采用韦达定理或点差法求解． 应用点差法可求出弦所在直线的斜率，点差法又称为“设而不求法”． 点差法：设点(设出点坐标)→代入(代入曲线方程)→作差(两式相减)． 练习1：直线y＝x＋1被椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1所截得的弦的中点坐标是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(5,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(