第08讲 基本不等式（8种题型）-【暑假预习】2023年新高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修第一册）

第08讲 基本不等式（8种题型） 【知识梳理】 1.均值不等式：≤ (1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用均值不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大). 【考点剖析】 题型一：基本（均值）不等式的应用 例1.已知为实数，且，则下列命题错误的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（多选）已知，则（       ） A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为1 【变式2】（多选）已知，则（       ） A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为16 【变式3】若正数满足，则的最大值为______． 题型二：根据基本不等式比较大小 例2．若，，，则下列不等式恒成立的是（       ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）设，则下列不等式中一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知，，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（       ） A． B． C． D． 【变式3】设a＞0，b＞0，给出下列不等式： ①a2＋1＞a；   ②；     ③(a＋b)；   ④a2＋9＞6a. 其中恒成立的是________(填序号). 【变式4】已知，则与的大小关系是____________ 【变式5】甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若，试判断哪辆车先到达B地． 题型三：根据基本不等式证明不等关系 例3.已知，，，下列不等式正确的个数有（       ） ①，②，③，④. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（多选）已知、、，若，则（       ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则与的比较______． 【变式3】已知，求证：. 【变式4】证明不等式： (1)若，，，都是正数，求证：； (2)若，，是非负实数，则； (3)若，是非负实数，则； (4)若，，则． 【变式5】下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例． (1)若，则； (2)若，则； (3)若，则． 【变式6】（1）已知、、，求证：（）； （2）若，，，求证：. 【变式7】设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac； （Ⅱ）. 题型四：基本不等式求积的最大值 例4.（多选）已知，，且，则下列说法正确的是（       ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【变式1】已知，，如果，那么的最小值为________；如果，那么的最大值为________． 【变式2】已知实数，且，则的最大值为______． 【变式3】已知，，若，则的最大值为_________ 【变式4】已知，则函数的最大值为_______. 【变式5】已知. (1)若x､，求的最大值； (2)若x､，求的取值范围. 【变式6】已知集合 ​. (1)求集合​ (2)若函数 ​， 求​的最大值. 题型五：基本不等式求和的最小值 例5.负实数、满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则的最小值是______． 【变式2】已知正实数x，y满足，则最小值为______． 【变式3】（1）已知，求的最小值； （2）已知，且，证明：． 【变式4】冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为（单位：），经过市场调查了解到：每月土地占地费（单位：万元）与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则与分别为万元和万元.记两项费用之和为. (1)求关于的解析式； (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值． 题型六：条件等式求最值 例6.若，，且，则的最小值为（       ） A．9 B．16 C．49 D．81 【变式1】已知，，且，则的最小值为（       ） A．8 B． C．9 D． 【变式2】（多选）下列说法正确的是（       ） A．若正实数满足则 B．若，则有最大值 C．若ab=4，则a+b