第07讲 等式性质与不等式性质（7种题型）-【暑假预习】2023年新高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修第一册）

第07讲 等式性质与不等式性质（7种题型） 【知识梳理】 1．等式的性质 2.不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c. (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc. (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d. (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)． 比较两式大小的常见方法：作差法、作商法 作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段； 第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键． 注1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较； 注2：含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断．注意分类合理恰当． 作商法： 注：在两式无法确定正负号或是否可能为0的情况下无法适用. 作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小. 【考点剖析】 题型一：用不等式表示不等关系 例1.铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（     ） A．a + b + c ≤M B．a +b +c >M C．a + b + c ≥M D．a + b+ c <M 【变式1】某学生月考数学成绩 x不低于100分，英语成绩 y 和语文成绩 z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（       ） A． B． C． D． 【变式2】某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案 为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（       ） A． B． C． D． 【变式3】某校在冬季长跑活动中，要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过元，已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为元、元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能小于．设获得一等奖的学生有人，获得二等奖的学生有人，则满足的不等关系为______． 【变式4】用不等式或不等式组表示下面的不等关系: (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从地面算起不能超过4m; (2)a与b的和是非负实数; (3)如图,在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L(单位m)大于宽W(单位:m)的4倍. 题型二：有已知条件判断所给不等式是否正确 例2.若，则下列说法正确的是（       ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则< 【变式1】若，则下列不等式不能成立的是（       ） A． B． C． D． 【变式2】如果，那么下面不等式一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【变式3】若a，b，c为实数，且，则下列不等关系一定成立的是（       ） A． B． C． D． 题型三：由不等式的性质比较数（式）的大小 例3.设，则下列命题正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（多选）下列命题为真命题的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】（多选）已知，，下列不等式中正确的是（       ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）下列命题正确的是（       ） A． B．，，使得ax＞2 C．ab=0是的充要条件 D．a≥b＞－1，则 题型四：作差法比较代数式的大小 例4.随着社会的发展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具.小王在某段时间共加号汽油两次，两次加油单价不同.现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油元，第二种方式是每次加油升.我们规定这两次加油哪种加油方式的平均单价低，哪种就更经济，则更经济的加油方式为（       ） A．第一种 B．第二种 C．两种一样 D．不确定 【变式1】如果，那么（       ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知，则下列选项正确的是（       ） A． B． C． D． 【变式3】下列四个代数式①，②，③，④，若，则代数式的值最大的是______．（填序号）． 【变式4】已知 ， ，则 _______ ．（填“>”或“<”） 题型五：作商法比较代数式的大小 例5.已知c＞1，且x＝－，y＝－