3.2双曲线讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

双曲线 · 知识点一　双曲线的定义 定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数(小于||)的点的轨迹． · 知识点二：双曲线的简单几何性质 实轴： 虚轴： 焦点：两个定点、 焦距： · 知识点三：双曲线的两种标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 ，，的关系 总结 分母哪个正，焦点在哪个轴 · 知识点四：双曲线的渐近线 双曲线与渐近线无限接近，但是永不相交 · 知识点四：双曲线的离心率 双曲线的焦距与实轴的比值称为离心率，用表示 几何意义：刻画双曲线开口的大小 离心率越大，开口越大 · 题型一：双曲线的标准方程 1. 已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是______. 2. 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是______. 3. 求下列满足条件的双曲线方程 （1） ,与轴的一个交点坐标是 （2） （3） ,双曲线过点 （4） ,且经过点 · 题型二：共焦点的双曲线标准方程 4. 双曲线和椭圆的焦点有什么关系？ 5. 已知过点的双曲线与有公共焦点，则双曲线的标准方程为______. · 题型二：过两点的标准方程 6. 已知双曲线过,焦点在坐标轴上，则双曲线的标准方程为______. 7. 已知双曲线过,焦点在坐标轴上，则双曲线的标准方程为______. · 题型四：双曲线的渐近线和离心率 8. 若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为_____. 9. 已知离心率为的双曲线，焦点在轴上，则渐近线的倾斜角为_____. 10. 已知焦点在轴上的双曲线，为双曲线上一点， 若,，则_____. · 来点作业~ 1. 已知椭圆的长轴端点和焦点分别是双曲线的焦点和坐标轴的焦点，则双曲线的方程为______. 2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： ，过点； 过点，. 3. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则离心率_____. 4. 关于双曲线，求下列的值 为双曲线上一点，，分别为左、右焦点，若，则_____. 先猜想的离心率是否与题设双曲线离心率相同，再验证. 与椭圆有相同的焦距，则____. 过右焦点的弦长最小值为____. 1 2 学科网（北京）股份有限公司 $1 双曲线  知识点一 双曲线的定义 定义：平面内与两个定点𝐹1，𝐹2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|𝐹1𝐹2|)的点的轨迹． ||𝑃𝐹1| − |𝑃𝐹2|| = 2𝑎 < 2𝑐  知识点二：双曲线的简单几何性质 实轴：|𝐴1𝐴2| = 2𝑎 虚轴：|𝐵1𝐵2| = 2𝑏 焦点：两个定点𝐹1、𝐹2 焦距：|𝐹1𝐹2|  知识点三：双曲线的两种标准方程 焦点位置 焦点在𝑥轴上 焦点在𝑦轴上 图形 标准方程 𝑥 2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 𝑎，𝑏，𝑐的关系 𝑐2 = 𝑏2 + 𝑎2 总结 分母哪个正，焦点在哪个轴  知识点四：双曲线的渐近线 双曲线与渐近线无限接近，但是永不相交 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 ⇒ 𝑦 = ± 𝑏 𝑎 𝑥 𝑦2 𝑎2 − 𝑥2 𝑏2 = 1 ⇒ 𝑦 = ± 𝑎 𝑏 𝑥  知识点四：双曲线的离心率 双曲线的焦距与实轴的比值 𝑐 𝑎 称为离心率，用𝑒表示 几何意义：刻画双曲线开口的大小 离心率越大，开口越大 2 ➢ 题型一：双曲线的标准方程 1. 已知方程 𝑥2 3−𝑘 + 𝑦2 2+𝑘 = 1表示焦点在𝑥轴上的双曲线，则实数𝑘的取值范围是______. 2. 已知方程 𝑥2 7+𝑘 + 𝑦2 5−𝑘 = 1表示双曲线，则实数𝑘的取值范围是______. 3. 求下列满足条件的双曲线方程 （1） 𝐹1(−3,0), 𝐹2(3,0),与𝑥轴的一个交点坐标是(√6, 0) （2） 𝐹2 = (4,0), 2𝑎 = 4√3 （3） 𝐹1 = (3,0),双曲线过点(4,1) （4） 𝐹1 = (0, 𝑚), 𝑎 = 𝑏,且经过点(1, −3) ➢ 题型二：共焦点的双曲线标准方程 4. 双曲线 𝑥2 𝑎2+15 − 𝑦2 𝑏2−15 = 1和椭圆 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1的焦点有什么关系？ 5. 已知过点(3√2, −2)