2.1直线的倾斜角与斜率讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.1直线的倾斜角与斜率 · 知识点一　直线的倾斜角 1.当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角 2.当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. · 直线的倾斜角的取值范围为0°180°. · 小试牛刀~ 试判断是否为倾斜角 · 知识点二：直线的斜率 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示 即. · 斜率的推导：直线上任取两点，（） 1. 当 方向朝上时，，平移向量到 ， 则点的坐标为，倾斜角为，由正切函数可知 1. 当 方向朝上时，，平移向量到 ， 则点的坐标为，倾斜角为，由正切函数可知 · 可得：直线上任意两点，， 2．斜率与倾斜角的对应关系 · 小试牛刀~ ____ ____ ____ ____ ____ ____ 试找出一些规律~并尝试总结~ · 结合正切图像可得： 当倾斜角为时，; 当倾斜角为锐角时， 且越大，； 当倾斜角为时，不存在； 当倾斜角为钝角时，且越大，. · 知识点三：直线的方向向量 直线上任取两点，（）,此时与 平行的非零向量都是直线的方向向量，取 因此得：①若直线的斜率为，则的方向向量可表示为 ②若直线的方向向量为，则直线的斜率为 · 知识点四：直线平行与垂直的判定 若两直线平行，则倾斜角相等， 若两直线垂直，则其方向向量垂直， · 概念辨析： 1. 倾斜角越大，斜率越大（ ） 1. 所有的直线都有倾斜角，所以直线都有斜率（ ） 1. 若是直线的斜率，则 （ ） 1. 若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 1. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 · 题型一：倾斜角的计算 1. 若直线经过两点，且倾斜角为45，则的值为______. 2. 已知直线的斜率为1，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为______. · 题型二：倾斜角与斜率的大小比较 3. 如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． · 题型三：倾斜角与斜率的范围, 4. 已知直线的斜率为，倾斜角为, 若，则取值范围______. 若，则求取值范围______. 5. 已知两点，，过点的直线与线段有公共点．求直线的斜率的取值范围______. 6. 已知，，过点的直线，若与线段总有公共点，求直线的范围；若与线段没有公共点，求直线的范围. 7. 已知点为直线上的点，当时，的取值范围是______. · 题型四：方向向量 8. 已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角为______. 9. 已知直线上两点,,则直线的单位方向向量为 ． 10. 已知直线的方向向量为，直线的倾斜角为,则 ． · 题型五：直线的平行和垂直 11. 已知直线与直线互相平行，则实数的值为_____. 12. 已知倾斜角为的直线，与垂直的直线过点与，，_____. · 课后作业~ 1. 已知直线上两点，直线倾斜角为，则的值为_____. 2. 设为轴上的一点， ，若，则点的坐标为______. 3. 已知直线上两点，直线的一个方向向量为,则______. 4. 若点在直线上，当时，则的取值范围是______. 5. 已知两点，已知实数，求直线的倾斜角的范围是______. 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $1 2.1 直线的倾斜角与斜率  知识点一 直线的倾斜角 1.当直线𝑙与𝑥轴相交时，我们以𝑥轴为基准，𝑥轴正向与直线𝑙向上的方向之间所成的角. 2.当直线𝑙与𝑥轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°. ➢ 直线的倾斜角𝛼的取值范围为 0°≤ 𝛼 <180°. ⚫ 小试牛刀~ 试判断𝛼是否为倾斜角  知识点二：直线的斜率 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角𝛼的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母𝑘表示 即𝑘 = tan 𝛼. ➢ 斜率的推导：直线上任取两点𝑃1(𝑥1, 𝑦1)，𝑃2(𝑥2, 𝑦2)（𝑥1 ≠ 𝑥2） (1)当 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 方向朝上时，𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑥2 − 𝑥1 , 𝑦2 − 𝑦1)，平移向量𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 到 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗， 则点𝑃的坐标为(𝑥2 − 𝑥1 , 𝑦2 − 𝑦1)，倾斜角为𝛼，由正切函数可知 𝑘 = tan𝛼 = 𝑦2 − �