1.4.1点线面的位置关系讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.1点线面位置关系 · 知识点一：点、线、面的向量表示 直线的方向向量：与直线平行的非零向量 平面的法向量：与平面垂直的非零向量 图解 表示 翻译 点 任取一定点，任意一点， 称为点的位置向量 线 任取一定点，直线的方向向量为，点在直线上的充要条件：＝＋ ＝ 面 空间一点位于平面内的充要条件: ＝＋＋ ＝＋ · 知识点二：空间中直线、平面的平行与垂直 设为直线的方向向量，为平面的法向量 平行： // // 垂直 // · 概念辨析： 1.若直线的方向向量为 ，平面的法向量 ，则// （ ） 2.如果直线的方向确定，则该直线的方向向量是唯一的（ ） 3. 如果直线的方向为 ，则也是该直线的方向向量（ ） 题型一：方向向量和法向量的求法 1. 已知平面经过点 ,求直线的方向向量和平面的法向量 · 求法向量的一般步骤 1) 设平面的法向量  2) 找出平面内任意两个不平行的向量 ，  3) 由 得： 4) 给任意一个赋具体值（不要赋值为0），解二元一次方程组 2. 在边长为2正方体上建立如图所示坐标系，为的中点，为的中点，求平面的法向量_______. 3. 在正方体上建立如图所示坐标系，给出下列结论正确的是_________. ①直线 的一个方向向量为(0,0,1); ②直线 的一个方向向量为(0,1,1); ③平面的一个法向量为(0,1,0); ④平面的一个法向量为(1,1,1). · 题型二：空间中直线、平面的位置关系 4. 设平面的一个法向量，平面的一个法向量,若//,则______.若,则______. 5. 在如图所示的正方体中，边长为1，用向量法证明 （1） //面 6. 已知平面{|•0}，其中点（，，）， 法向量（，，），则下列各点中不在平面内的是（　　） A．（，，） B．（，，） C．（，，） D．（，，） 7. 已知向量（1，，2），（0，1，2），（1，0，0），若，，共面，则等于（　　） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或0 · 课后作业~ 1. 如图，在边长为1的正方体中，以为原点， 为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量________. 2. 直线的方向向量 ，平面的法向量 ，若//，则______ 3. 以下命题正确的是（ ） A. 直线l的方向向量为，直线的方向向量，则 B. 直线l的方向向量，平面的法向量，则 C. 两个不同平面的法向量分别为，，则 D. 平面经过三点，向量是平面的法向量， 则 4. 如图，四棱锥中，⊥平面，底面是正方形，， 为中点． （1）用向量法求证：⊥； （2）用向量法求证：⊥平面 2 学科网（北京）股份有限公司 $1.4.1 点线面位置关系  知识点一：点、线、面的向量表示 直线的方向向量：与直线平行的非零向量 平面的法向量：与平面垂直的非零向量 图解 表示 翻译 点 任取一定点𝑂，任意一点𝑃， 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗称为点𝑃的位置向量 线 任取一定点𝑂，直线𝑙的方向向量为𝑎 ，点𝑃在 直线𝑙上的充要条件：𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗＝𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗＋𝑡𝑎 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗＝𝑡𝑎 面 空间一点𝑃位于平面𝐴𝐵𝐶内的充要条件: 𝑂𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗＝𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗＋𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗＋𝑦𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗＝𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗＋𝑦𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗  知识点二：空间中直线、平面的平行与垂直 设?⃗? 为直线的方向向量，?⃗? 为平面的法向量 平行： 𝑢1⃗⃗⃗⃗ //𝑢2⃗⃗⃗⃗ ⇒ 𝑢1⃗⃗⃗⃗ = 𝜆𝑢2⃗⃗⃗⃗ 𝑢1⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝑛1⃗⃗⃗⃗ ⇒ 𝑢1⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑛1⃗⃗⃗⃗ = 0 𝑛1⃗⃗⃗⃗ //𝑛2⃗⃗⃗⃗ ⇒ 𝑛1⃗⃗⃗⃗ = 𝜆𝑛2⃗⃗⃗⃗ 垂直 𝑢1⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝑢2⃗⃗⃗⃗ ⇒ 𝑢1⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑢2⃗⃗⃗⃗ = 0 𝑢1⃗⃗⃗⃗ //𝑛1⃗⃗⃗⃗ ⇒ 𝑢1⃗⃗⃗⃗ = 𝜆𝑛1⃗⃗⃗⃗ 𝑛1⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝑛2⃗⃗⃗⃗ ⇒ 𝑛1⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑛2⃗⃗⃗⃗ = 0 1