1.4.2空间角及其距离讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2空间角与距离 · 知识点一　空间夹角 设为直线的方向向量，为平面的法向量 线线角 线面角 sin θ 面面角 注：以上范围均为，但是异面直面的范围为 · 知识点二：空间距离的运算 1.点到直线 的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点，设向量 在直线上的投影向量为 ，则点到直线的距离为: 【步骤】第一步：直线上任找一点构成 ，算出 第二步：找出在的投影向量： 第三步：勾股定理求距离 · 直线距离就找在直线方向向量的投影向量的模长 2.点到平面的距离 设平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点， 则点到平面的距离为： 【步骤】第一步：平面内任找一点构成 ，算出 第二步：找出在 的投影向量： · 平面距离就找在平面法向量的投影向量的模长 考试变形：①求平行线距离点线距离 ②求线面线距离点面距离 · 死去的回忆，要稳住~： 例：已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. · 题型一：空间角的计算 1. 如图，四棱锥中，//，，平面，点为中点．，其中， （1） 求直线与直线所成的角的余弦值； （2） 求直线与平面所成的角的余弦值． （3） 求平面与平面夹角的余弦值. 2. 如图所示，四棱锥底面为矩形，平面平面，若，,设为的中点. (1) 求直线与直线所成角的余弦值; (2) 求直线与平面所成角的余弦值; (3) 求平面与平面夹角的余弦值. · 题型二：空间距离的运算 3. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求直线到直线的距离； （3）求点到平面的距离； （4）求直线到平面的距离． · 课后作业~ 1. 如图，在平行六面体中，平面，且，，． （1） 求异面直线与所成角的余弦值； （2） 求与平面所成角的正弦值； （3） 求平面与平面所成角的正弦值． 2. 在棱长为1的正方体中． （1）求：点到平面的距离； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面的距离； （4）求直线到的距离． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 空间角与距离  知识点一 空间夹角 设?⃗? 为直线的方向向量，?⃗? 为平面的法向量 线线角 cos𝜃 = | cos < ?⃗? 1, ?⃗? 2 > | = |?⃗? 1 ∙ ?⃗? 2| |?⃗? 1| ∙ |?⃗? 2| 线面角 sin θ= |cos < ?⃗? ，?⃗? >| = |?⃗? ∙?⃗? | |?⃗? |∙|?⃗? | 面面角 cos𝜃 = | cos < ?⃗? 1, ?⃗? 2 > | = |?⃗? 1 ∙ ?⃗? 2| |?⃗? 1| ∙ |?⃗? 2| 注：以上𝜃范围均为[0, 𝜋 2 ]，但是异面直面𝜃的范围为(0, 𝜋 2 ]  知识点二：空间距离的运算 1.点𝑃到直线 𝑙 的距离 已知直线𝑙的单位方向向量为?⃗? ，𝐴是直线𝑙上的定点，𝑃是直线𝑙外一点，设向量 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗在直线𝑙上的 投影向量为 𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗，则点𝑃到直线𝑙的距离为: |𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗| 2 = |𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗| 2 − |𝐴𝑄⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| 2 【步骤】第一步：直线上任找一点构成 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗，算出|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗| 第二步：找出𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗在𝑙 的投影向量：|𝐴𝑄⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = |𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ ?⃗? | 第三步：勾股定理求距离 直线距离就找在直线方向向量的投影向量的模长 1 2.点𝑃到平面𝛼的距离 设平面𝛼的法向量为?⃗? ，𝐴是平面𝛼内的定点，𝑃是平面𝛼外一点， 则点𝑃到平面𝛼的距离为： |𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗| = |𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗∙?⃗? | |?⃗? | 【步骤】第一步：平面内任找一点构成 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗，算出|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗| 第二步：找出𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗在 ?⃗? 的投影向量：|𝑃𝑄