1.1空间向量基本定理与坐标运算讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1基本定理与坐标运算 · 知识点一　空间向量的概念 1．定义：在空间，具有大小和方向的量. 2．长度或模：向量的大小． · 知识点二：空间向量的运算 法则 运算律 加法运算 三角形法则 交换律：＋＋ 结合律：(＋)＋＋(＋) 平行四边形法则 减法运算 三角形法则 数乘运算 实数与空间向量的乘积 0：与向量的方向相同 0：与向量的方向相反 0: 0，其方向是任意的 结合律：()() 分配律：(＋)＋， (＋)＋ 数量积运算 ·＝||||· 结合律：()·＝(·) 交换律：·＝· 分配律：·(＋)＝·＋· · 概念辨析： 1. //,//,则//（       ） 2. 将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆（       ） 3. ,,（       ） 4. 非零向量中，（       ） · 试一试~给出下列命题 ①空间中所有的单位向量都相等； ②方向相反的两个向量是相反向量； ③若满足，且同向，则； ④零向量没有方向； ⑤对于任意向量，必有． 其中正确命题的序号为（ ） A. ①②③ B.⑤ C.④⑤ D. ①⑤ · 题型一：向量的化简 1. 如图，在三棱柱中，化简下列向量 （1）  （2）  （3）  2. 如图所示，在三棱柱中，是1的中点，化简下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 3. 如图，在空间四边形中，，，分别是边，，的中点， 则　 　； · 题型二：向量的数量积 4. 如图所示，在平行六面体中，，，∠90°，∠60°，则的长为（　　） A． B． C． D． 5. 如图，在平行六面体中，＝3,＝4，'＝5，∠＝∠'＝60°，•． 求：（1）•； （2）； （3）||． 6. 已知空间单位向量，，两两夹角为60°，则|2|　 　； 空间向量基本定理 · 平面向量基本定理： 设 ， 同一平面内的两个不共线向量， 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使 . 我们把，叫做表示这个平面内所有向量的一个基底. · 空间向量基本定理： 设 ， ，  为不共面的向量， 是该空间内任一向量，则存在唯一有序实数组(，，)，使 ＋＋. 我们把， ， 叫做空间的一个基底. ， ， 都叫做基向量 · 空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1， 那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{，，}表示． 2．向量的正交分解 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． · 空间向量坐标表示 1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：以为原点，分别以单位正交基向量，， 的方向为正方向，建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，，， 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面. 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向， 食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向， 则称这个坐标系为右手直角坐标系． 3. 空间向量的坐标 在空间直角坐标系中，给定向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(，，)，使＝＋＋.有序实数组(，，)叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作＝(，，)． 4. 空间向量的坐标运算 已知非零向量，是与的夹角 坐标运算 || 数量积运算 (1) (2) (3) ( 注：但是 不一定成立 【与平行的单位向量：】 则 向量在向量上的投影向量 ： 模长： 向量：  ∥ 两点间距离公式 设(，，)，(，，)是空间中任意两点， 则＝| |＝. · 题型三：基底的判断与运用 7. 在三棱锥中，是△的重心．以为基向量表示，则 　． 8. 在如图所示的三棱柱中，为的中点，若 ， 求的值 · 题型四：坐标的表示 9. 如图，在长方体中，＝3，＝4，＝4，为与的交点，建立如图所示的空间直角坐标系．写出点，，，,的坐标 10. 如图所示，四棱锥, 面，底面是边长为的正方形，，，试建立合适的空间直角坐标系，求出的坐标 · 题型五：坐标的运算 11. 在空间直角坐标系中，已知点（，，），向量，则线段的中点坐标为 　； 12. 在空间直角坐标系中，点（）与点（）关于（　　）对称 A．原点 B．轴 C．轴 D．轴 13. 已知空间两点（3，3，1），（﹣1，1，5），则线段的长度为（　　） A．6 B． C． D． 14. 设点（3，3，1），（1，0，5），（0，1，0），则线段的中点与点的距离为（　　） A． B． C． D． 15. 已知，，与共线，则（　　） A．5