第01讲 探索勾股定理（6类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第01讲 探索勾股定理 1.熟练掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题. 2.掌握勾股定理的证明方法，能够熟练地运用勾股定理解决弦图等相关问题． 3.熟练掌握重要的数学思想：方程思想. 知识点01 勾股定理 勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 【微点拨】 1）仅直角三角形中存在勾股定理（若要使用勾股定理则需要有直角三角形或通过辅助线构造直角三角形）； 2）由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边（斜边）的平方等于两短边（两直角边）的平方和，只有c是斜边时才有a2+b2=c2，切不可死搬硬套公式. 3）利用勾股定理，若无法直接找出其中的两条边，则可设定一条边长为未知数，根据题目已知的条件能表示其他的边（可以是设定的未知数表示，也可以是具体的数字），再建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. 知识点02 勾股定理的验证 据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了.由于篇幅有限，我们就重点介绍最具代表性的“勾股圆方图”（即赵爽弦图）的证法. 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.（赵爽的证法） 　图（1）中，所以. 图（1） 图（2） 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.（毕达哥拉斯的证法） 图（2）中，所以. 【微点拨】 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.尤其是其中体现出来的“形数统一” 的思想方法，更具有科学创新的重大意义.以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展,只是具体图形的分合移补略有不同而已. 题型01 用勾股定理解三角形 【典例1】（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，长方形中，，，，则______．    【变式1】（2023春·湖南郴州·八年级校考期中）如图，在中，，，，求BC边上的高AD的长．      【变式2】（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，在中，，，，于．求：    (1)的长和的面积； (2)的长． 题型02 已知两点坐标求两点距离 【典例1】（2023春·广东湛江·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，则的长为（    ） A． B．8 C．9 D．10 【变式1】（2023春·广东中山·八年级中山市华侨中学校考期中）平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．4 B．3 C．7 D．5 【变式2】（2022秋·广东茂名·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，点与点之间的距离为______    题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例1】（2023·全国·八年级假期作业）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形A，B，C，若正方形B，C的面积分别为6，18，则正方形A的面积是（    ）    A． B． C．12 D．24 【变式1】（2022秋·广东茂名·八年级校考期中）如图，中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别是，，，且，，则（    ）    A．20 B．12 C． D． 【变式2】（2023春·山东德州·八年级统考期中）如图，字母B所代表的正方形的面积是（    ）    A．12 B．15 C．144 D．306 题型04 勾股定理与网格问题 【典例1】（2023·云南楚雄·统考一模）如图，点A，B，C在边长为1的正方形网格格点上，则边上的高为（     ）    A． B． C． D． 【变式1】（2023·全国·八年级假期作业）如图，由单位长度为1的4个小正方形拼成的一个大正方形网格，连接三个小格点，可得，则边上的高是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023春·全国·八年级期中）如图，在的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求： (1)的长； (2)边上的高． 题型05 勾股定理与折叠问题 【典例1】（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，一张直角三角形纸片ABC中，，将它沿折痕折叠，使点A与点B重合，则___________．    【变式1】（2023春·全国·八年级阶段练习）如图所示，把矩形纸条沿，同时折叠，，两点恰好落在边的点处，若的度数恰好为，，，则矩形的边的长为_____． 【变式2】（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处