第1章 集合与常用逻辑用语（全章复习与测试）-【暑假预习】2023年新高一数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修第一册）

第1章 集合与常用逻辑用语全章复习与测试 【知识梳理】 一． 集合的概念 把某些能够确切指定的对象全体看作一个整体，这个整体就称为一个集合，集合中的每个对象称为该集合的元素。任何一个对象对于某一个集合来说，或是属于该集合，或是不属于该集合。 二.集合中元素的三个特征： ①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了． ②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的. ③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 3.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示）． 4.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法． 5.常见的数集及其表示符号 名称 自然数集 (非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 表示符号 N 或 Z Q R 6.集合的分类：有限集，无限集，空集； 7.子集与真子集 子集：若集合中任何一个元素都属于集合，则集合叫做集合的子集，记作或； 真子集：对于集合和，若,且中至少有一个元素不属于，则集合叫做集合的真子集，记作 8.相等的集合：对于两个集合和，若，且，则叫做集合与集合相等，记作； 【要点注意】 （1） 空集是任何集合的子集，即，空集是任何非空集合的真子集； （2） 任何集合是其自身的子集，即； （3） 子集的传递性：若，则； （4） 若，则或； （5） 相等的集合中的所含元素完全相同； （6） 连接元素与集合的符号有：和； （7） 连接集合与集合的符号有：，，等； （8） 含有个元素的集合的子集共有个,真子集有个。 （9） 子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集. 三、集合之间的基本运算 如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示； 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 符号 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集，记作A∪B；符号表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 2．并集的性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆A∪B. 3.对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B的交集，记作A∩B。符号为A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。 4. 交集的性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B⊆A. 5、对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA。符号语言：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}。 【要点注意】 1．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B . 2. 德▪摩根定律： ①并集的补集等于补集的交集，即； ②交集的补集等于补集的并集，即． 四、充分条件与必要条件 (1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)几点说明 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 五、充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 六 、全称量词和存在量词 (1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示． (2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)． (3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)． 七、含有一个量词的命题的否定 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈