2.1.1倾斜角与斜率教学设计-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.1.1 倾斜角与斜率 教学目标 A.在平面直角坐标系中结合具体图形探索确定直线位置的几何要素 B.理解直线的倾斜角和斜率的概念 C.掌握倾斜角和斜率之间的关系 D.掌握过两点的直线斜率的计算公式. 1. 数学抽象 直线倾斜角与斜率的概念 2. 逻辑推理 倾斜角与斜率的关系 3. 数学运算 直线斜率的计算 4. 直观想象 直线的倾斜角 重点难点 1. 教学重点：理解直线倾斜角和斜率的概念及其关系 2. 教学难点 过两点的直线斜率的计算公式 授课类型 新授课 教学过程 一、情境引入 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度, 如图, 一辆汽车沿某条道路从 A 点前进到 B 点, 在水平方向前进的距离为 AD, 竖直方向上升的高度为 DB(如果是下降, 则 DB 的值为负实数), 则坡度 k = 上升高度/水平距离 =DB/AD .k >0 表示上坡,k < 0 表示下坡, 为了实际应用与安全, 在道路铺设时常要规划坡度的大小. 那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢? 二、直线的倾斜角 问题1 在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示　两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线． 问题2 在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点 P 的直线有什么区别？ 提示　直线的方向不同，相对于 x 轴的倾斜程度不同． 【知识梳理】 当直线 l 与 x 轴相交时，我们以 x 轴为基准，x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°. 注意点： (1) 从运动变化的观点来看，当直线 l 与 x 轴相交时，直线 l 的倾斜角是由 x 轴绕直线 l与 x 轴的交点按逆时针方向旋转到与直线 l 重合时所得到的最小正角． (2) 倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对 x 轴正向的倾斜程度． (3) 直线的倾斜角 α 的取值范围为 练习：设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为 α，如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45°，得到直线 l1，那么 l1的倾斜角可能为 (　　) A． α + 45° B． α - 135° C． 135°-α D． α - 45° 解析　根据题意，画出图形，如图所示 通过图象可知，当 0° ≤ α < 135° 时，l1的倾斜角为 α + 45°； 当 135° ≤ α < 180° 时，l1的倾斜角为 45°+α - 180° = α - 135°. 反思感悟　直线倾斜角的概念和范围 (1) 直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2) 注意倾斜角的范围 三、直线的斜率 问题3 　在平面直角坐标系中，设直线 l 的倾斜角为 α. (1) 已知直线 l 经过O(0,0)，P( 3，1)，α 与 O，P 的坐标有什么关系？ (2) 类似地，如果直线 l 经过 P1(-1,1)，P2( 2，0)，α 与 P1，P2的坐标有什么关系？ (3) 一般地，如果直线 l 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠ x2，那么 α 与 P1，P2的坐标有什么关系？ 1.把一条直线的倾斜角 α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k表示，即 k = tan α. 2. 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1 ≠ x2) 的直线的斜率公式为 k =y2- y1 /x2- x1 ，当 x1 =x2时，直线 P1P2的斜率不存在． 3．直线的方向向量与斜率的关系：若直线 l 的斜率为 k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则 k =y/x。 注意点： (1) 当 x1= x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为 90°. (2) 斜率公式中 k 的值与 P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3) 斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4) 若直线与 x 轴平行或重合，则 k = 0. 四、倾斜角和斜率的应用 问题4 当直线的倾斜角由 0° 逐渐增大到 180°，其斜率如何变化？ 提示　当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大． 【知识梳理】 设直线的倾斜角为 α，斜率为 k. 思考辨析 (1) 任一直线都有倾斜角，都存在斜率． (　　) (2) 倾斜角为 135° 的直线的斜率为 1.(　　) (3) 若一条直线的倾斜角为 α，则它的斜率为 k = tan α.(　　) (4) 直线斜率的取值范围是 (-∞，+∞)． 五、例题讲解 例1 已知直线 l 过点