24.1.2垂直于弦的直径 　课件 2022—2023学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 第2课时 24.1.2 垂直于弦的直径 有一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 新课导入 折一折 你能证明你的结论吗？ 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂径定理及其推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 学习目标 推进新课 · O C D 探究 求证圆是轴对称图形 过点A作AA'⊥CD于M，交⊙O于点A'， 已知：如图，在⊙O中，CD是直径。 求证：直线CD是⊙O的对称轴 证明：在⊙O上任取一点A(与C、D不重合)， A A' M 连接OA，OA'。 ∵OA=OA'，AA'⊥CD ∴AM=A'M ∴CD是AA'的垂直平分线 ∴⊙O上任意一点A，在⊙O上都有 关于CD的对称点A' 即直线CD是⊙O的对称轴 · O A B C D M 垂径定理及其推论 一 如图,AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于M. 则:AM与BM重合， AC与BC、 AD与BD重合 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。 运用格式： ∵ CD是直径，CD⊥AB ∴ AM=BM AC=BC、 AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 垂径定理的常见基本图形： A B O C D E A B O E D A B O E A B O E C 上述五个条件中的任何两个条件作题设 都可以推出其他三个结论吗？ 思考探索 垂径定理的条件与结论， 即一条直线若满足： ①过圆心(CD是直径) ②垂直于弦(CD⊥AB) 则可推出：③平分弦(AM=BM) ④平分弦所对的优弧(AC=BC) ⑤平分弦所对的劣弧(AD=BD) · O C D M A B ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 垂径定理的推论 运用格式： · O C D A B M ∵ CD是直径，AM=BM ∴ CD⊥AB AC=BC、 AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。 垂径定理的实际应用 二 例 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥的主桥拱的半径（结果保留到小数点后一位）。 解：如图，用AB表示主桥拱，弦AB表示跨度，设AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C， ⌒ ⌒ A B O D C ⌒ R ∴ AB=37m，CD=7.23m. 根据垂径定理知：D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高， 连接OA。 ⌒ 解得R≈27.3 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.3m. A B O D C R 18.5 R-7.23   OD=OC-CD=R-7.23. 在Rt∆OAD中， 由勾股定理得：     1.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB= cm. · O A B E 解：连接OA ∴ AB=2AE=16 16 ∴ 练习 ∵ OE⊥AB 变形：书83页练习1 在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解。 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： d+h=r O A B C · D 归纳 h d r     2.已知：⊙O中弦AB∥CD 求证：AC＝BD. ⌒ ⌒ . M C D A B O N ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明：作直径MN⊥AB. 又∵ AB∥CD ∴ AM＝BM ∴ MN⊥CD ∴ CM＝DM ∴ AM－CM＝BM－DM ∴ AC＝BD 练习 3.如图，你能作出一张圆形纸片的圆心吗？ O 解：图中点O就是所求圆心。 练习 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧。知二推三 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧 两条辅助线： 连半径，作弦心距 构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 课堂小结 $