第14讲 指数函数及其性质-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第14讲 指数函数及其性质 1．理解指数函数的概念，掌握指数函数的定义域、值域的求法； 2．理解指数函数的单调性，能利用指数函数的单调性比较幂的大小； 3．掌握指数函数图象通过的特殊的点，会作指数函数的图象，掌握指数函数的性质。 一、指数函数的概念 1、定义：一般地，函数（且）叫做指数函数， 其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： （1）如果，当 （2）如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． （3）如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． 二、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 三、比较指数幂的大小 比较幂的大小的常用方法： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 四、简单指数不等式的解法 1、形如的不等式，可借助的单调性求解； 2、形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； 3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。 考点一：指数函数的概念辨析 例1．（多选）下列函数中，是指数函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】（多选）下列函数是指数函数的是（ ） A． B． C． D．且 考点二：利用指数函数的概念求参 例2．若函数为指数函数，则a的取值范围是________ 【变式训练】若函数为指数函数，则（ ） A．或 B．且 C． D． 考点三：指数函数过定点问题 例3．函数恒过定点（ ） A． B． C． D． 【变式训练】函数且恒过定点，__． 考点四：指数函数的图象辨析 例4．若的图像如图，（，是常数），则（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ） A．，，， B．，，， C．，，，， D．，，，， 考点五：利用单调性比较指数幂的大小 例5．已知，将a，b，c按照从小到大的顺序排列为（　　） A．c，b，a B．b，a，c C．c，a，b D．b，c，a 【变式训练】（多选）下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 考点六：解指数型不等式 例6．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】解关于的不等式． 考点七：指数型函数的单调性 例7．函数的单调递增区间是（ ） A． B．[2，＋∞） C． D． 【变式训练】函数的单调递增区间为______. 考点八：指数型函数的奇偶性 例8．函数的奇偶性是（ ） A．是奇函数，不是偶函数 B．是偶函数，不是奇函数 C．既是奇函数，也是偶函数 D．非奇非偶函数 【变式训练】已知为偶函数，则实数（ ） A．1 B．-1 C．0 D． 考点九：指数型函数的值域 例9．函数的值域为______. 【变式训练】函数在区间［-1，1］上的最大值为___________. 1．如果函数和都是指数函数，则（ ） A． B．1 C．9 D．8 2．函数的图像不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．函数（其中，，、为常数）的图像恒过定点，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 5．如图所示：曲线，，和分别是指数函数，, 和 的图象,则a，b，c，d 与1的大小关系是（ ） A． B． C． D．