第10讲 函数的单调性和最值-【暑假预科讲义】2023年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第10讲 函数的单调性和最值 【人教A版2019】 ·模块一 函数的单调性 ·模块二 函数的最值 ·模块三 课后作业 模块一 函数的单调性 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)； a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)； a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m]. (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x) g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x) g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【考点1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 【例1.2】（2023·海南海口·统考模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·全国·高一假期作业）下列命题正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数 C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同 【考点2 利用函数的单调性求参数】 【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）设函数是上的减函数，则有（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023·全国·高一专题练习）“”是“函数在区间上为减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2.1】（2023秋·天津红桥·高一统考期末）已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（    ）． A． B． C．或 D．或 【变式2.2】（2023春·湖南·高一校联考开学考试）已知为增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点3 利用函数的单调性比较大小】 【例3.1】（2023·全国·高一假期作业）已知函数是区间内的减函数，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．不确定 【例3.2】（2023·全国·高一假期作业）已知函数在上是递减函数，且，则有（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023·全国·高一假期作业）设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知函数的定义域为，若对都有，且在上单调递减，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【考点4 利用函数的单调性解不等式】 【例4.1】（2023·高一课时练习）函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例