第13讲 等边三角形及含30°角的直角三角形的性质-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（人教版）

第13讲 等边三角形及含30°角的直角三角形的性质 【人教版】 ·模块一 等边三角形的性质和判定 ·模块二 含30°角的直角三角形的性质 ·模块三 课后作业 模块一 等边三角形的性质和判定 等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 【考点1 等边三角形的性质】 【例1.1】如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【例1.2】已知直线ab，将等边三角形按如图所示的位置摆放，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例1.3】如图，点在线段上，和都是等边三角形，试说明： ．    【变式1.1】如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠a＋∠β的度数是（   ） A．220° B．180° C．270° D．240° 【变式1.2】如图，，，三点在同一直线上，和均为等边三角形，连结，，若，那么______． 【变式1.3】如图，在等边中，点E为上一点，点F为上一点，且．求证：．    【考点2 等边三角形的判定】 【例2.1】下列说法不正确的是（    ） A．有一个角为的三角形是等边三角形； B．三边相等的三角形是等边三角形 C．三个角相等的三角形是等边三角形 D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形 【例2.2】如图，已知，点在内部，点与点关于对称，点与点关于对称，则，，三点所构成的三角形是（    ） A．含角的直角三角形 B．等边三角形 C．顶角是的等腰三角形 D．视点的位置而定 【例2.3】如图，在中，，，是的平分线，是边上的高，请从图中找出一个等边三角形，并说明理由． 【变式2.1】下列图形中，一定是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】如图，在中，，为边的中点，于点，于点，．求证：是等边三角形． 【变式2.3】已知，如图，，，，求证：为等边三角形．    【考点3 等边三角形的性质与判定的综合应用】 【例3.1】如图，中，，是中线，，将沿折叠至，则点C到的距离是（    ） A．4 B． C．3 D． 【例3.2】如图，在中，，为线段上一动点（不与点、重合），连接，作，且，连接．若，，则的度数为______． 【例3.3】如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 【变式3.1】将两个直角三角形如图放置，其中，，，，与交于点，则_____． 【变式3.2】已知：如图，点D在等边三角形的边上，延长至点E使，连接交A与点F．    (1)求证：； (2)过点D作于G，若等边三角形的边长为6，求的长． 【变式3.3】已知是等边三角形，点P在上，过点P作，垂足为D，延长至点Q，使，连接PQ交AC于点E，如图所示．如果等边的边长为4，那么线段的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 模块二 含30°角的直角三角形的性质 直角三角形的性质定理　 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【考点1 含30°角的直角三角形的性质】 【例1.1】在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【例1.2】如图，在中，，，，，则 _____． 【例1.3】如图，是等边三角形，，分别是边，上的点，，交于点，于点，若．求证：．      【变式1.1】如图，，以点为圆心，以适当长为半径作弧交于点，交于点；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点；画射线，在射线上截取线段，则点到的距离为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1.2】如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则________． 【变式1.3】如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使，，垂足为点F．    (1)求证：； (2)若，求的周长． 【考点2 含30°角的直角三角形的性质的应用】 【例2.1】如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】如图，是平面镜，光线从点出发经上点反射后照射到点，若入射角为，反射角为（反射角等于入射角），于点，于点，且，，则______． 【例2.3】如图，早上，一艘轮船以海里小时的速度由南向