第11讲 平方根（5种题型）-【暑假预习】2023年新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第11讲 平方根（5种题型） 【知识梳理】 一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系： （1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 三、平方根的性质 四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【考点剖析】 题型一、平方根和算术平方根的概念 例1、若2－4与3－1是同一个正数的两个平方根，求的值． 【变式1】下列说法错误的是（　　） A.5是25的算术平方根 B.l是l的一个平方根 C.的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0 【变式2】判断下列各题正误，并将错误改正： （1）没有平方根．（ ） （2）．（ ） （3）的平方根是．（ ） （4）是的算术平方根．（ ） 例2、 填空： （1）是 的负平方根． （2）表示 的算术平方根， ． （3）的算术平方根为 ． （4）若，则 ，若，则 ． 【变式1】下列说法中正确的有（ ）： 3 3是9的平方根． ② 9的平方根是3． ③4是8的正的平方根． ④ 是64的负的平方根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】的平方根是　 　． 例3.为何值时，下列各式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】使代数式有意义的的取值范围是______________． 【变式2】已知，求的算术平方根． 题型二、平方根的运算 例4、求下列各式的值． (1)； (2)． 题型三、利用平方根解方程 例5、求下列各式中的x值， （1）169x2=144 （2）（x﹣2）2﹣36=0． 【变式1】求下列各式中的. （1） （2）； （3） 【变式2】求x的值：（x﹣2）2=4． 题型四、平方根的综合应用 例6.若x，y为实数，且满足．求的值． 【变式】若，求的值． 【变式2】已知a2＝16，|﹣b|＝3，解下列问题： （1）求a﹣b的值； （2）若|a+b|＝a+b，求a+b的平方根． 例7、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片 使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【变式1】如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． （1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？并说明理由． （2）求阴影部分的面积． 【变式2】小波想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使长方形的长宽之比为3：2． (1)请你帮小波求出长方形纸片的长与宽； (2)小波能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由． 题型五：平方根小数点位数移动规律 例8.观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： （1），，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． （2）已知，，则_____；______． 【变式】如果＝3.9522，则＝　 　；＝39.522，则x＝　 　； 【过关检测】 一．选择题（共7小题） 1．（2022秋•杭州期末）若一个正方形的面积小于20，它的边长是一个整数，则边长可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2015•下城区校级二模）的平方根（　　） A．4 B．2 C．±4 D．±2 3．（2022秋•越城区期中）“的平方根是±”用数