第15讲 弧长及扇形面积-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（浙教版）

第15讲 弧长及扇形面积 1．掌握弧长的计算公式； 2．掌握扇形的面积计算公式； 知识点、弧长及扇形的面积 设的半径为，圆心角所对弧长为， （一）弧长的计算 （1）弧长公式： （2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所 对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为 注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角 所对弧长时，不要错写成 （2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。 （二）扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 考点一：求弧长 例1．若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为9，则劣弧的长为（　　）    A． B． C． D． 2．圆心角为的扇形面积为，则该扇形的弧长等于________． 3．如图，是的外接圆，是直径，的平分线交于点D，连接、．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长（结果保留）． 考点二：求扇形半径 例2．一个扇形的面积为．弧长为．那么这个扇形的半径是（    ） A．20 B．24 C．26 D．32 【变式训练】 1．如图，A，B，C，D为上的点，且直线与夹角为．若，，的长分别为，和，则的半径是（    ） A．4 B． C．5 D． 2．如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为，则这个扇形的半径是________．    3．如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是．弧所对的圆心角是，这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小数点后一位）？ 考点三：求某点的弧形运动路径 例3．长为的细木条用两个铁钉固定在墙上，固定点为点，（铁钉的大小忽略不计），当固定点处的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，点落在点的位置，则点旋转的路径长为（ ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，内接于，，的半径为8，点Q是上一动点，点P是弦的中点，则点Q从点B运动到点C时，点P所经过的路径长为（　　） A． B．2π C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点为旋转中心，将点逆时针旋转到点的位置，则的长为______． 3．如图，在的正方形网格中，，，，均在网格的格点上． (1)平移线段，使得点与点重合，画出平移后的线段； (2)绕点顺时针旋转，画出旋转后的三角形，点旋转所经过的路线长为__________． 考点四：求扇形面积 例4．如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为(    )    A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，在矩形中，，分别以点为圆心，为半径画弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若，则该点取自阴影部分的概率为______．    3．如图，在中，已知． (1)尺规作图；画的外接圆（保留作图痕迹，不写画法）， (2)连接若，求扇形的面积． 考点五：求弓形面积 例5如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为______ 结果保留．    3．如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．    (1)证明：； (2)若，求图中阴影部分的面积． 考点六：求其他不规则图形的面积 例6．如图，扇形的圆心角为直角，，点在弧上，以，为邻边构造，边交于点，若，则图中两块阴影部分的