第14讲 圆内接四边形与正多边形-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（浙教版）

第14讲 圆内接四边形与正多边形 1．掌握圆内接四边形的概念和定理； 2．掌握圆与正多边形的关系； 知识点、圆内接四边形 1．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。 知识点、正多边形与圆 （一）正多边形及有关概念 （1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。 （2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 （3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。 （4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。 （5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。 （6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 （二）正多边形的有关计算 （1）正边形的每个内角都等于 （2）正边形的每个中心角都等于 （3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示， 设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形 的周长面积 考点一：已知圆内接四边形求角度 例1．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，线段是的直径，、为上两点，如果，那么的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，四边形内接于，是的直径，连接，若，则的度数是________．    3．如图，四边形是的内接四边形，点C是弧的中点，连接，若，求的度数． 考点二：求四边形外接圆的直径 例2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【变式训练】 1．如图，已知的半径为，内接于，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为______． 3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2,∠ADB=45°. 求⊙O半径的长. 考点三：求正多边形的中心角 例3．正八边形的中心角等于（    ）度 A．36 B．45 C．60 D．72 【变式训练】 1．若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（　　） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 2．如图，点O是正六边形的中心，以为边构造正五边形，则___________．    3．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON （1）求图1中∠MON的度数 （2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　 （3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____ 考点四：已知正多边形的中心角求边数 例4．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式训练】 1．如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 2．圆的内接正多边形中，正多边形的一条边所对的圆心角是，则正多边形的边数是______ 3．【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则． 【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）． 【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积． 考点五：正多边形和圆的相关概念 例5．如图，正五边形内接于，连接，则（   ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为S，则纸片的剩余部分的面积为（    ）    A． B． C． D．S 2．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________ 个．    3．如图，求边长为a的正方形的外接圆的半径长．    1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，四边形是