13.4 课题学习 最短路径问题同步教案-2022-2023学年八年级数学上册（人教版）

第十三章 轴对称 课题学习 最短路径问题——将军饮马 科 目 数 学 课时安排 第四课时 教程资源 多媒体（希沃白板5） 授课对象 八年级学生 教材分析 本节内容是在学生学习平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题. 学情分析 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决最值问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.八年级的学生经验少，理解能力，抽象思维水平较低，处于直觉经验型思维向逻辑思维的过渡阶段，辩证思维还只是处在萌芽和初始的状态上. 教学 目标 “四基” 基础知识 基本技能 基本思想 基本活动经验 1.能利用“两点之间线段最短”和轴对称知识解决简单的最短路径问题. 2.能将实际问题抽象成数学问题.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想 经历探究最短路径问题解决策略的活动，发展分析问题和解决问题的能力； 培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性 “四能” 1. 学生能将实际问题中的“地点”、“河流”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题， ，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思想. 核心素养 目标 借助所学知识和生活经验思考，感悟数学与实际生活及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，培养学生自行探究精神，在知识与能力转化上起到桥梁作用。 重点 利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 难点 如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。 教学 方法 通过情景创设，把文字语言转化成数学符号语言，构建数学建模，再通过所学知识的引导，渗透最短路径问题。采用探究式学习，合作交流思想方法。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新 课 导 入 “将军饮马”问题 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”--唐∙李颀《古从军行》如图，将军每天从家出发，带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ 学生情景想象 吸引学生注意力，激发思维 新 课 讲 授 实际问题 数学问题 思考1：如果军营B在河对岸，将军怎么走能使得路程最短？ 总结：当A、B两点异侧时，连接AB交直线于P，此时PA+PB最小. 思考2：如果军营B在河同侧，将军怎么走能使得路程最短？ ∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 总结方法：作其中一点的的对称点，对称点和另一点所连线段与直线的交点为所求 思考：为什么这条路就是最短路径呢？ 即：如何证明 QA+QB > PA+PB ? 将现实问题转化成数学符号语言 为理解两点同侧的情况做铺垫，分散教学难点，降低教学难度. 同时让学生感受实际问题转化为数学问题的方法，理解并转化几何图形。 设问引导学生探索解决最短路径的方法.经历将实际问题数学化的过程，将问题表达成线段和最小形式，从而将最短路径问题抽象为“线段和最小问题” 追根溯源 运用轴对称性质将两条路径和转移到三角形中，依据“两边之和大于第三边”比较大小，在证明过程中体会“轴对称”的作用，学会转化的方法 知 识 延 伸 巩固提升 变式题：在∠MON的内部有一点Ｐ，在边OM上找一点Ａ，在边ON上找一点Ｂ，使得三角形PAB的周长最短． ① 作点P关于OM的对称点P'，作点P关于ON的对称点P＂ ② 连接P' P＂，与OM交于点A，与ON交于点B ③ 连接PA，PB，AB △PAB即为所求． 总结：两动一定型 做定点的两个对称点 2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（　　） A．10 B．15 C．20 D．30 分组讨论 上台操作演示，提 对前面所学的解题方法与思路得以巩固，让学生形成技能，进一步体会感悟数学中的转化思想，激发他们进一步探究问题的欲望. 设置变式问题，巩固解答最短路径问题的方法，获得解决问题的转化方式，能与已知问题建立联系， 提升解答最短路径问题的能力。 课堂小结 本节课你学到了什么？ 学生归纳总结 培养学生总结，归纳的能力。 课外 思考 如果将军从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮