第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题（五大题型）-2023年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第01讲 平面向量与三角形中的范围与最值问题 【题型归纳目录】 题型一：定义法 题型二：坐标法 题型三：基底法 题型四：几何意义法 题型五：极化恒等式 【知识点梳理】 知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法： 1、定义法 第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步：得出结论 2、坐标法 第一步 ： 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步： 将平面向量的运算坐标化 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 3、基底法 第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标 第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 4、几何意义法 第一步： 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步： 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 知识点二．极化恒等式 1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： （1） （2） 1. （2）两式相加得： 2、极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 （1）平行四边形模式： 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． （2）三角形模式：（M为BD的中点） A B C M 知识点三．在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 【典例例题】 题型一：定义法 【例1】（2023·广西·高一校联考阶段练习）已知点是的边上靠近点的三等分点，点是线段上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【对点训练1】（2023·江苏南京·高一南京市宁海中学校联考期中）已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型二：坐标法 【例2】（2023·江苏南通·高一校考期末）如图所示，边长为的正，以的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为______.    【对点训练2】（2023·上海闵行·高一闵行中学校考期末）已知平面向量，其中，则的取值范围是__________. 【对点训练3】（2023·北京通州·高一统考期中）在正方形中，，P为边的中点，Q为边的中点，M为边（包括端点）上的动点，则的取值范围是_________． 【对点训练4】（2023·四川广元·高一广元中学校考期中）已知向量，，当取得最大值时，______． 题型三：基底法 【例3】（2023·福建三明·高一三明一中校考期中）已知以为圆心的单位圆上有两个定点、及两个动点、，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【对点训练5】（2023·全国·高一专题练习）已知的外心为，且满足，（其中，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．5 题型四：几何意义法 【例4】（2023·江苏南京·高一南京市第一中学校考期中）向量，，若与的夹角为，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【对点训练6】（2023·高一课时练习）已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（    ） A． B．2 C． D．1 题型五：极化恒等式 【例5】（2023·浙江·高一校联考期中）已知图中正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【对点训练7】（2023·福建福州·高一福建省福州高级中学校考期中）已知边长为2的正方形ABCD内接于圆O，点P是正方形ABCD四条边上的动点，MN是圆O的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【真题演练】 1．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2020·海南·统考高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·统考高考真题）在中，，