第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题（五大题型）-2023年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题 【题型归纳目录】 题型一：异面直线所成的角 题型二：线面角 题型三：二面角 题型四：距离问题 题型五：体积问题 【知识点梳理】 知识点1、求点线、点面、线面距离的方法 （1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）． （2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离． （3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． ②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解． ③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解． 知识点2、异面直线所成角的常用方法 求异面直线所成角的一般步骤： （1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线． （2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． （3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求． 知识点3、直线与平面所成角的常用方法 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤 （1）确定斜线与平面的交点（斜足）； （2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； （3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 知识点4、作二面角的三种常用方法 （1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角． （3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 知识点5、求体积的常用方法 选择合适的底面，再利用体积公式求解． 【典例例题】 题型一：异面直线所成的角 【例1】（2023·甘肃定西·高一甘肃省临洮中学校考期中）如图，四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，，为的中点，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【对点训练1】（2023·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）如图，三棱锥中，平面平面ACD，，，，点为棱AD的中点，． (1)求证：平面平面BCD； (2)求异面直线AB与CE所成角的余弦值． 【对点训练2】（2023·重庆万州·高一重庆市万州第二高级中学校考期中）在棱长为2的正方体中，分别为棱和的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成的余弦值； 题型二：线面角 【例2】（2023·河南·高一校联考期末）如图，三棱柱中，为等边三角形，，，．    (1)证明：平面平面； (2)求直线和平面所成角的正弦值． 【对点训练3】（2023·云南楚雄·高一统考期中）如图，在直三棱柱中，．    (1)证明：为直角三角形． (2)若为等腰三角形，且，求与侧面所成角的正弦值． 【对点训练4】（2023·吉林长春·高一长春市第二中学校考期中）如图，在直三棱柱中，.    (1)求证：； (2)求与平面所成的角的大小. 题型三：二面角 【例3】（2023·湖南岳阳·高一统考期末）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AA1，B1C1的中点． (1)求证：平面C1BD； (2)若DC1⊥BD，AC＝BC＝1，AA1＝2，求二面角B﹣DC1﹣C的正切值． 【对点训练5】（2023·河南平顶山·高一统考期末）如图所示，圆锥PO的母线长为，底面圆O的直径AB＝2，C是圆O所在平面内一点，AC与圆O相切，连接BC交圆O于点D，连接PD，PC，CO，DO． (1)证明：平面PAC； (2)若，求二面角的正切值． 【对点训练6】（2023·广东茂名·高一统考期中）如图，三棱锥中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在棱上，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 题型四：距离问题 【例4】（2023·重庆·高一重庆一中校考期中）如图所示，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，.    (1)证明：平面： (2)若，求点到平面的距离. 【对点训练7】（2023·云南保山·高一统考期末）如图，在四棱锥，四边形正方形，平面．，，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【对点训练8】（2023·河北邯郸·高一统考期末）在直三棱柱中，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)若，，，