微练18 导数与函数的零点-【赢在微点】2024高考理科数学大一轮复习顶层设计核心微练课件PPT（老高考)

高考复习顶层设计（大一轮） 核心微练 数学理科 1 2 微练(十八)　导数与函数的零点 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 3 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 4 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 5 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 6 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 7 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 8 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 9 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 10 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 11 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 12 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 13 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 14 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 15 1.已知函数f(x)=ln x-a2x2+ax(a≥1)。 (1)证明:函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数; (2)当a=1时,证明:函数f(x)只有一个零点。 证明　(1)显然函数f(x)=ln x-a2x2+ax的定义域为(0,+∞),f'(x)=-2a2x+ a==。因为a≥1,x>1,所以2ax+1>0,ax-1>0,所以f'(x)<0,所以函数f(x)在(1,+∞)上是减函数。 (2)当a=1时,f(x)=ln x-x2+x,其定义域是(0,+∞),f'(x)=-2x+1=-。令f'(x)=0,解得x= -(舍去)或x=1。所以当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0。所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以当x=1时,函数f(x)取得极大值,也是最大值,即为f(1)=ln 1-12+1=0,当x≠1时,f(x)<f(1),即f(x)<0,所以函数f(x)只有一个零点。 2.已知函数f(x)=x-aex,a∈R。 (1)当a=时,证明:f(x)+ln x-x+1≤0在(0,+∞)上恒成立; (2)讨论函数f(x)的零点个数。 解　(1)证明:当a=时,f(x)=x-ex-1,则f'(x)=1-ex-1。由f'(x)>0得x<1,此时f(x)单调递增,由f'(x)<0得x>1,此时f(x)单调递减。所以f(x)max=f(1)=0,即f(x)=x-ex-1≤0　①,变形得x≤ ex-1,当x>0时,对x≤ex-1两边同时取自然对数,得ln x≤x-1,当且仅当x=1时取等号。所以ln x-x+1≤0　②。①+②,得f(x)+ln x-x+1≤0。所以当a=时,f(x)+ln x-x+1≤0在(0,+∞)上恒成立。 (2)f(x)=0等价于x-aex=0,即=a。设h(x)=,则h'(x)=,当x<1时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x>1时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)max=h(1)=。又当x<0时,h(x)<0,当x>0时,h(x)>0,且x→+∞时,h(x)→0,所以可画出h(x)大致图象,如图所示。 所以当a≤0或a=时,f(x)在R上有唯一零点;当a>时,f(x)在R上无零点;当0<a<时,f(x)在R上有两个零点。 3.已知函数f(x)=ex+(a-e)x-ax2。 (1)当a=0时,求函数f(x)的极值; (2)若函数f(x)在区间(0,1)内存在零点,求实数a的取值范围。 解　(1)当a=0时,f(x)=ex-ex,则f'(x)=ex-e,f'(1)=0,当x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,且极小值为f(1)=0,无极大值。 (2)由题意得f'(x)=ex-2ax+a-e,设g(x)=ex-2ax+a-e,则g'(x)=ex-2a。若a=0,则f(x)的最小值为f(1)=0,故由(1)得f(x)在区间(0,1)内没有零点。若a<0,则g'(x)=ex-2a>0,故函数g(x)在区间(0,1)内单调递增。又g(0)=1+a-e<0,g(1)=-a>0,所以存在x0∈(0,1),使g(x0)=0。故当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增。因为f(0)=1,f(1)=0,所以当a<0时,f(x)在区间(0,1)内存在零点。若a>0,由(1)得当x∈(0,1)时,ex>ex。则f(x)=ex+(a-e)x-ax2>ex+(a-e)x-ax2=a(x-x2)>0,此时函数f(x)在区间(0,1)内没有零点。综上,实数a的取值范围为(-