微练59 求值、证明、探究性问题-【赢在微点】2024高考理科数学大一轮复习顶层设计核心微练课件PPT（老高考)

高考复习顶层设计（大一轮） 核心微练 数学理科 1 2 微练(五十九)　求值、证明、探究性问题 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 3 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 4 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 5 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 6 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 7 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 8 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 9 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 10 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 11 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 12 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 13 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 14 1.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为。 (1)求E的离心率e; (2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:MN⊥AB。 解　(1)由题设条件知,点M的坐标为,又kOM=,从而=。进而a=b, c==2b,故e==。 (2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为,可得=。又=(-a,b),从而有=-a2+b2=(5b2-a2)。由(1)的计算结果可知a2=5b2,所以=0,故MN⊥AB。 2.若抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(1,n)在抛物线C上,且|MF|=3。 (1)求抛物线C的方程; (2)过点(-2,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点A关于x轴的对称点是D,证明:B,F,D三点共线。 解　(1)因为抛物线C的准线方程为x=-,|MF|=3,M(1,n),所以1+=3,解得p=4。所以抛物线C的方程为y2=8x。 (2)证明:设直线l的方程为x=my-2,A(x1,y1),B(x2,y2)。联立消去x,得y2-8my+16=0,则Δ=64m2-64>0,所以m>1或m<-1,y1+y2=8m,y1y2=16。又点A关于x轴的对称点为D,所以D(x1,-y1),则直线BD的方程为y-y2=(x-x2),即y-y2= (x-x2)=,令y=0,得x=-y2·==2,所以直线BD过定点(2,0),而点F的坐标为(2,0),因此B,F,D三点共线。 3.已知点F1,F2为双曲线C:x2-=1(b>0)的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°。 (1)求双曲线C的方程; (2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1,P2,求的值。 解　(1)设F2,M的坐标分别为(,0),(,y0)(y0>0),因为点M在双曲线C上,所以1+b2-=1,则y0=b2,所以|MF2|=b2。在Rt△MF2F1中,∠MF1F2=30°,|MF2|=b2,所以|MF1|=2b2。由双曲线的定义可知,|MF1|-|MF2|=b2=2,故双曲线C的方程为x2-=1。 (2)由(1)可知,两条渐近线分别为l1:x-y=0,l2:x+y=0。设双曲线C上的点P(x0,y0),两条渐近线的夹角为θ,由题意知cos θ=,则点P到两条渐近线的距离分别为|PP1|=,|PP2|=。因为P(x0,y0)在双曲线C:x2-=1上,所以2-=2。所以=cos θ==。 4.在平面直角坐标系中,顶点在原点、以坐标轴为对称轴的抛物线C经过点(1,2)。 (1)求抛物线C的方程; (2)已知抛物线C关于x轴对称,过焦点F的直线交C于A,B两点,线段AB的垂直平分线交直线AB于点P,交C的准线于点Q。若|AB|=|PQ|,求直线AB的方程。 解　(1)当抛物线C的焦点在x轴上时,设抛物线C:y2=2px(p>0)。将点(1,2)代入得p=2,此时抛物线C的方程为y2=4x。当抛物线C的焦点在y轴上时,设抛物线C:x2=2p1y(p1>0),将点(1,2)代入得p1=,此时抛物线C的方程为x2=y。所以抛物线C的方程为y2=4x或x2=y。 (2)因为抛物线C关于x轴对称,所以其方程为y2=4x,所以F(1,0)。当直线AB的斜率不存在时,|AB|=4,|PQ|=2,不符合题意,所以直线AB的斜率存在,且不为0,设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2)。由消去y得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0。易知Δ>0,所以x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+2=4+,=1+,y1+y2=k(x1+x2)-2k=,