微练60 最值、范围问题-【赢在微点】2024高考理科数学大一轮复习顶层设计核心微练课件PPT（老高考)

高考复习顶层设计（大一轮） 核心微练 数学理科 1 2 微练(六十)　最值、范围问题 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 3 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 4 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 5 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 6 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 7 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 8 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 9 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 10 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 11 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 12 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 13 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 14 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 15 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 16 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 17 高考复习顶层设计 数学 微在字里 赢在行间 第页 18 1.已知双曲线-=1(a>0,b>0),O为坐标原点,离心率e=2,点M(,)在双曲线上。 (1)求双曲线的方程; (2)如图,若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q,P,且=0,求|OP|2+|OQ|2的最小值。 解　(1)因为e==2,所以c=2a,b2=c2-a2=3a2。所以双曲线的方程为-=1,即3x2-y2=3a2。因为点M(,)在双曲线上,所以15-3=3a2,所以a2=4。所以所求双曲线的方程为-=1。 (2)设直线OP的方程为y=kx(k≠0),则直线OQ的方程为y=-x,由得所以|OP|2=x2+y2=。同理可得|OQ|2==,所以+===。设|OP|2+|OQ|2=t,则t·(+)=2+()2+()2 ≥2+2=4,所以t≥=24,即|OP|2+|OQ|2≥24(当且仅当|OP|=|OQ|=2时取等号)。所以当|OP|=|OQ|=2时,|OP|2+|OQ|2取得最小值24。 2.已知抛物线C:y2=2px(p>0),点F为抛物线C的焦点,点A(1,m)(m>0)在抛物线C上,且|FA|=2,过点F作斜率为k(≤k≤2)的直线l与抛物线C交于P,Q两点。 (1)求抛物线C的方程; (2)求△APQ面积的取值范围。 解　(1)由抛物线的定义可得|FA|=xA+=1+=2,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x。 (2)设直线l的方程为y=k(x-1),P(x1,y1),Q(x2,y2),联立得k2x2-(2k2+4)x+k2 =0,Δ>0恒成立,由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=1,因为AF⊥x轴,则S△APQ=×|AF|×|x1-x2|=|x1-x2|==4=4,因为≤k≤2,令t=,所以S△APQ=4,所以≤S△APQ≤8,所以△APQ的面积的取值范围为[,8]。 3.(2022·浙江卷)如图,已知椭圆+y2=1。设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q(0,)在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=-x+3于C,D两点。 (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值; (2)求|CD|的最小值。 解　(1)设M(2cos θ,sin θ)是椭圆上一点,P(0,1),则|PM|2=12cos2θ+(1- sin θ)2=13-11sin2θ-2sin θ=-11(sin θ+)2≤。故|PM|的最大值为。 (2)由题意,知直线AB的斜率存在,故设直线AB的方程为y=kx+。将直线方程与椭圆方程联立,得消去y并整理,得(k2+)x2+kx-=0。 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-。直线PA:y=x+1与直线y=-x+3交于点C,则xC= =。 同理可得,xD==, 则|CD|=|xC-xD|=|-|=2| =2|==, 当且仅当|k|=时等号成立。故|CD|的最小值为。 4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1,l2,C上一点A(4,)到l1,l2的距离之积为。 (1)求双曲线C的方程; (2)若P为C的右支上任意一点,M(m,0)(m>0),求|PM|的最小值。 解　(1)由已知可知l1,l2的方程为bx-ay=0,bx+ay=0,因为A(4,)到l1,l2的距离之积为,所以=,即=*。又-=1,所以16b2-3a2=a2b2,代入*式得5a2b2=4a2+b2　①,由-=1得a2=　②,由①②解得b2=1,a2=4,所以双曲线C的方程为-y2=1。 (2)设P(x,y),x≥2,则y2=-1,|PM|2=(x-m