第07讲 基本不等式-【暑假预科讲义】2023年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第07讲 基本不等式 【人教A版2019】 ·模块一 两个不等式 ·模块二 基本不等式与最值 ·模块三 课后作业 模块一 两个不等式 1. 两个不等式 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 【注】“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 【考点1 对基本不等式的理解】 【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）给出下列条件：①；②；③，；④，.其中能使成立的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1.1】（2023·全国·高三专题练习）若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·全国·高一假期作业）下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【考点2 由基本不等式比较大小】 【例2.1】（2023·全国·高一假期作业）已知a、b为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023·全国·高一假期作业）设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023·高一课时练习）若实数，满足，且.则下列四个数中最大的是（    ） A． B． C． D． 【考点3 利用基本不等式证明不等式】 【例3.1】（2023·全国·高一假期作业）已知，，且，求证：. 【例3.2】（2023·全国·高一假期作业）已知，，，求证：. 【变式3.1】（2023·江苏·高一假期作业）已知，，，且．求证：． 【变式3.2】（2023·贵州黔西·校考一模）设，，均为正数，且，证明： (1)； (2)． 模块二 基本不等式与最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 【考点1 利用基本不等式求最值（无条件）】 【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）若，则的最值情况是（    ） A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2 【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式1.1】（2023·全国·高一假期作业）已知，则当取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是（    ） A．10 B．12 C．13 D．14 【考点2 利用基本不等式求最值（有条件）】 【例2.1】（2023春·河南周口·高一校联考期末）已知，，，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 【例2.2】（2023·重庆·高二统考学业考试）已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，则ab的最大值是（　　） A． B．2 C．4 【变式2.1】（2023春·福建福州·高二校考学业考试）若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）已知，为正实数，且，则下列选项错误的是（   ） A．的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最小值为 【考点3 利用基本不等式求参数】 【例3.1】（2023·江苏·高一假期作业）若对，，有恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例3.2】（2023·全国·高三专题练习）当时， 的最小值为10，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【变式3.1】（2022秋·宁夏中卫·高二统考期末）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023春·重庆沙坪坝·高三校考阶段练习）已知正数，满足，若不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【考点4 基本不等式的实际应用】 【例4.1】（2023春·广西南宁·高一校联考开学考试）某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽