第1章 解直角三角形 章末整合提升-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（浙教版)

章末整合提升 请从右表中选择正确的关键词,将其对应选项代号填入左侧框图中相应的横线上． 答案:①C　②D　③E　④F　⑤H　⑥G　⑦D　⑧C　⑨I　⑩K　􀃊􀁉􀁓M　􀃊􀁉􀁔L 考点一　锐角三角函数的概念 (１)三概念: ①正弦:sinA＝ ∠A 的对边 斜边 ; ②余弦:cosA＝ ∠A 的邻边 斜边 ; ③正切:tanA＝ ∠A 的对边 ∠A 的邻边． (２)两类型:一是求某一锐角的三角 ９３ 函数值;二是给出锐角三角函数值得到 边的关系,求线段的长等． (３)一构造:锐角三角函数的概念是 在直角三角形中定义的,在非直角三角 形中利用锐角三角函数解决问题时,要 通过构造直角三角形求解． 例１如图１Ｇ１,在△ABC 中,AD⊥BC, 垂足 是 D,若 BC ＝１４,AD＝１２, tan∠BAD＝ ３ ４ ,求sinC的值． 图１Ｇ１ 分析:在 Rt△ADC 中,sinC ＝ AD AC , AD＝１２,只需求出 AC 的长．若已知 CD,则可由勾股定理求出AC,而CD 的长 未 知,若 要 由 线 段 的 数 量 关 系 BC＝BD ＋ CD 求 CD,则 需 在 Rt△ABD中求BD,利用tan∠BAD＝ BD AD 和AD＝１２可求得BD． 解:因为AD⊥BC, 所以tan∠BAD＝ BD AD． 因为tan∠BAD＝ ３ ４ ,AD＝１２, 所以 ３ ４＝ BD １２ ,所以BD＝９． 所以CD＝BC－BD＝１４－９＝５． 所以在Rt△ADC 中, AC＝ AD２＋CD２ ＝ １２２＋５２ ＝１３, 所以sinC＝ AD AC＝ １２ １３．  求锐角三角函数值常用的方法 (１)在直角三角形中,设法求出角的度 数,然后利用特殊角的锐角三角函数 值求解,也可以设法求出所在直角三 角形的相应边长,根据锐角三角函数 的定义求解．若不是直角三角形,则要 先构 造 直 角 三 角 形,再 按 上 述 方 法 求解． (２)借助等角求值:找出一个与之相等 的角,其等角的三角函数值即为此角 的三角函数值． 考点二　特殊角的三角函数值 特殊 角 的 三 角 函 数 值 一 定 要 正 确 记忆: ３０°,４５°,６０°角的正弦值记为 １ ２ ,２ ２ , ３ ２ ,余弦值记为 ３ ２ ,２ ２ ,１ ２ ,正切值记为 ３ ３ ,３ ２ ３ ,３ ３ ３ ． 例２在△ABC 中,若∠A,∠B 都是锐角, 且满足 cosA－ ３ ２ ＋(１－tanB)２＝ ０,则∠C 的大小是 (　　) A．４５°　　B．６０°　　C．７５°　　D．１０５° 分析:先由非负数的性质求出cosA,tan B 的值,再根据特殊角的锐角三角函 数值求出两个角的度数,最后由三角 形的内角和定理求出∠C 的度数． 解析:由题意,得cosA＝ ３ ２ ,tanB＝１, 则 ∠A ＝３０°,∠B ＝４５°,则 ∠C ＝ ０４ １８０°－３０°－４５°＝１０５°．故选 D． 答案:D  　　本题考查了非负数的性质、特殊 角的锐角三角函数值和三角形的内角 和定理,掌握非负数的性质,熟记特殊 角的锐角三角函数值是解题的关键． 考点三　解直角三角形 直角三角形有六个元素,除直角外, 还有五个元素,只要知道一条边和另外 四个元素中的任一个,就可以求出其余 的三个 元 素,而 且 只 有 下 面 两 种 情 况: (１)已知两边求第三边和两锐角,此时一 般先用勾股定理求出第三边,再用锐角 三角函数求出一个角,最后根据两锐角 互余求出另一个角;(２)已知一边和一锐 角,求另两边和另一锐角,此时一般先用 互余关系求出另一锐角,再用锐角三角 函数求出两边,求两边时,也可以用三角 函数求出一边后,再用勾股定理求出另 一边． 例３(江苏连云港中考)如 图 １Ｇ２,在 △ABC 中,∠C＝ １５０°,AC ＝ ４, tanB＝ １ ８． (１)求BC 的长． (２)利用此图形求tan１５°的值．(精确 到０．１,参考数据:２≈１．４,３≈１．７, ５≈２．２) 图１Ｇ２ 分析:(１)先构造直角三角形,即过点 A 作AD⊥BC,交BC 的延长线于点D, 分别解 Rt△ACD 和 Rt△ABD,即可 求出BC 的长;(２)首先需要构造含１５° 角的 直 角 三 角 形,即 在 CB 上 截 取 CE＝CA ＝４,则 ∠CEA ＝ ∠CAE＝ １ ２∠ACD＝１５° ,然后求出 １５°角的对 边和邻边,最后利用正切的定义求值 即可． 解:(１)过点A 作AD⊥BC,交BC 的延 长线于点D, 如图１Ｇ３所示．因为∠ACB＝１５０°, 所以∠ACD＝３０°, 所以 AD ＝ １ ２AC ＝２ ,CD ＝AC 􀅰 cos３０°＝４× ３ ２＝２３． 在Rt△ABD 中, 因为tan