3.1 投影-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（浙教版)

第３章　三视图与表面展开图 ３．１　投　影 知识点一　投影及其相关概念 名称 概念 举例 投影 物体在光线的照射下,在某个 平面内形成的影子叫做投影 投射线 照射的光线叫做投射线 投影面 投影所在的平面叫做投影面 路灯下地面上人的影 子是人在路灯照射下 的投影,灯光光线就 是投射线,地面就是 投影面 【例１】判断下列现象是不是投影． (１)上午妈妈带小明走在马路上,身后会留下母子俩 的影子． (２)在灯光前,将两手交叉握紧,墙壁上就会出现影子． (３)湖边的树木、楼房在平静的湖面上留下的美丽的 倒影． 解:(１)(２)是投影,(３)不是投影． 三个条件辨投影 　　形成投影应具备的条件:第一要有物体存在,第 二要有光线,第三要有一个呈现投影的平面,三者缺 一不可． 知识点二　平行投影 平行投影的概念 投影 由平行的投射线所形成 →平行投影 'F (１)光线移动时,物体影子的 大小、方向也随着变化,物体 的形状与影子的形状有密切 的联系． (２)光是沿直线传播的,因此 我们可以由物体和它的投影 确定光线的方向． 'F (１)平行投影的投射线都是 平行的． ５７ (２)平行投影中,物体与投 影的对应点 的 连 线 相 互 平 行;反之,若 物 体 与 投 影 的 对应点的连线相互平行,则 说明是平行投影． (３)一般情况下,太阳光、月 光、探照灯的光线我们认为 是平行的,由这些光线形成 的投影是平行投影．  平行投影下物长 与影长的特殊关系 (１)同一时刻、同一地点,等 高的 物 体 垂 直 于 地 面 放 置 时,它们在太阳光下的影子 一样长,如图３．１Ｇ１所示． 图３．１Ｇ１ (２)同一时刻、同一地点,等 长的物体平 行 于 地 面 放 置 时,它们在太阳光下的影子 一样长,并且都等于物体本 身的长度,如图３．１Ｇ２所示． 图３．１Ｇ２ (３)同一时刻、同一地点,不 等高的物体 垂 直 于 地 面 放 置时,它们在太阳光下的影 长 与 物 高 成 比 例,即 甲物体的高 乙物体的高＝ 甲物体的影长 乙物体的影长 平行投影的形状 在平行投影下,线段和平面图形的投影与图形本身、 投影面、投射线之间的相对位置有着密切的关系,其 规律如下表所示: 图形 相对位置 投影特征 图示 线段 与投射线平行 点 与投射线及投 影面都不平行 与其本身不等 长的线段 线段 与投影面平行 与其本身等长 的线段 平 面 图 形(以三 角 形 为 例) 平面图形所在 的面与投射线 平行 一条线段 平面图形所在 的面与投射线 及投影面都不 平行 与其本身不全 等的平面图形 平面图形所在 的面与投影面 平行 与其本身全等 的平面图形 ６７ 【例２】如图３．１Ｇ４,AB 和DE 是直立在地面上的两根立 柱,AB＝５m,某一时刻,AB 在阳光下的投影BC＝ ４m． (１)请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影; (２)在测量AB 的投影长的时候,同时测出DE 在阳 光下的投影长为６m,请计算出DE 的长． 图３．１Ｇ４ 　　　　 图３．１Ｇ５ 解:(１)如图３．１Ｇ５,连结AC,过点D 作DF∥AC,交直 线BE 于点F,则线段EF 就是此时DE 在阳光下的 投影． (２)由同一时刻,竖直放置的不同物体在阳光下的影 长与其高度成正比,得AB BC＝ DE EF． 因为AB＝５m,BC＝４m,EF＝６m, 所以 ５ ４＝ DE ６ , 所以DE＝７．５m． 平行投影的画法 　　连结物体 A 顶端与其影子顶端得到形成影子的 光线l,过物体B顶端作光线l的平行线可得到物体 B的影子． 知识点三　中心投影 中心投影的概念 由同一点出发的投射线所形成的投影叫做中心投影． 中心投影的形状 一般地,在中心投影下,当线段或平面图形与投影面 (其理论依据是相似三角形 的 对 应 边 成 比 例 ),如 图 ３．１Ｇ３所示． 图３．１Ｇ３ 'F (１)中心投影的光线是从同 一点发出的,这个点是中心, 相当于物理中的“点光源”． (２)在中心投影下,光源、物 体边缘上的点以及影子上的 对应点在同一条直线上． ７７ (３)在中心投影下,若光源 与物体的相对位置改变,则 物体影子的位置也会改变, 但光源、物体的影子始终分 处在物体的两侧．  (１)当等高的物体垂直于地 面放 置 时 (如 图 ３．１Ｇ６ 所 示),在中心投影下,离点光 源近的 物 体,它 的 影 子 短; 离点光源远的物体,它的影 子长． 图３．１Ｇ６ (２)当等长的物体平行于地 面放 置 时 (如 图 ３．１Ｇ７ 所 示),在中心投影下,离点光 源越近,影 子 越 长;离 点 光 源越远,影 子 越 短,但 不 会 比物体本身的长度短． 图３．１Ｇ７ 平行时,物体的影子有如下规律: 图形 投影特征