2.2 切线长定理-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（浙教版)

２．２　切线长定理 知识点　切线长定理 切线长的定义 图２．２Ｇ１ 从圆外一点作圆的切线,通常我 们把圆外这一点到切点间的线 段的长叫做切线长．如图２．２Ｇ１, 直线 PA,PB 是☉O 的两条切 线,切 点 分 别 是 A,B,则 线 段 PA,PB 的长是点P 到☉O 的切线长． 切线长定理 文字语言 过圆外一点所作的圆的两条切线长相等 符号语言 PA,PB 分别与☉O 相切于点A,B⇒PA＝ PB 图示 图２．２Ｇ３ 【例】如图２．２Ｇ３,PA,PB 切☉O 于A,B 两点,CD 切☉O 于点E,交 PA,PB 于C,D 两点．若△PCD 的周长等于３, 则PA 的长是 (　　) A． ３ ２　　　　　　　　　B． ２ ３ C． １ ２　　　　　　　　　D． ３ ４ 解析:因为PA,PB 切☉O 于A,B 两点,CD 切☉O 于 点E,交PA,PB 于C,D 两点, 所以AC＝EC,DE＝DB,PA＝PB． 'F (１)切线是直线,不可度量; 切线长是切线上的切点与切 点外另一点之间的线段长, 可以度量． (２)由切线长定理可以得到 线段 相 等 和 角 相 等 两 个 结 论．利用切线长定理可以 证 明线段相等、角相等、弧相等 以及线段间的垂直关系等．  如图２．２Ｇ２,若PA,PB 分别 切☉O 于点A,B,则可得出 如下结论: (１)相等的线段:PA＝PB, AC＝CB; (２)相 等 的 角:∠１＝ ∠２＝ ∠５＝∠６,∠３＝∠４＝∠７＝ ∠８; (３)垂 直 关 系:PA ⊥OA, PB⊥OB,AB⊥OP; (４)全等三角形: △PAC≌△PBC, △PAO≌△PBO, △ACO≌△BCO; ７５ (５)相似三角形: △PAC∽△AOC∽△PBC∽ △BOC∽△POA∽△POB． 图２．２Ｇ２ 　因为△PCD 的周长等于３, 所以PA＋PB＝３, 所以PA＝ ３ ２． 答案:A 　　此题主要考查了切线长定理,熟练应用切线长定 理是解题的关键． １．(浙 江 衢 州 中 考)如 图 ２．２Ｇ６,在直角坐标系中, ☉A 的圆心A 的坐标为 (－１,０),半径为１,点 P 为直线y＝－ ３ ４x＋３ 上 的动点,过点P 作☉A 的 切线,切点为 Q,则切线 长 PQ 的 最 小 值 是 　　　　． 图２．２Ｇ６ 题型　切线长定理的应用 【例】如图２．２Ｇ４,AB 为☉O 的直径,∠BAD＝∠ABC＝ ９０°,CD 与☉O 相切于点E,☉O 的半径为 ５,AD＝ ２,连结AE 并延长交BC 的延长线于点G． (１)求BC 的长; (２)求EG 的长． 图２．２Ｇ４ 审题关键:由∠BAD＝∠ABC＝９０°,可知AD,BC 是 ☉O 的切线．又因为CD 也是☉O 的切线,所以可以 考虑用切线长定理解决． 破题思路:(１)过点D 作DF⊥BC 于点F,由切线长定 理可得 DE＝AD＝２,CE＝BC,在 Rt△DCF 中利 用勾股定理列出方程,即可求得BC 的长; (２)利用△ADE∽△GCE,根据对应边成比例及勾 股定理可求出AG 的长,从而求出EG 的长． ８５ 解:(１)如图２．２Ｇ５,过点D 作DF⊥BC,垂足为F． 图２．２Ｇ５ 因为AB 为直径, ∠BAD＝∠ABC＝９０°, 所以四边形ABFD 是矩形,AD 和BC 分别与☉O 相切于点A 和 点B． 所以 DF ＝AB ＝２ ５,BF ＝ AD＝２． 又因为CD 与☉O 相切于点E, 所以DE＝AD＝２,CE＝BC．❶ 设BC＝x(x＞０),则FC＝x－２,DC＝x＋２． 在Rt△DCF 中,因为DC２＝DF２＋FC２, 所以(x＋２)２＝(２５)２＋(x－２)２, 解得x＝ ５ ２ ,即BC＝ ５ ２． (２)因为∠BAD＝∠ABC＝９０°, 所以AD∥BC, 所以∠DAE＝∠G,∠ADE＝∠GCE, 所以△ADE∽△GCE,所以 AD GC＝ DE CE＝ EA EG． 因为AD＝DE＝２,CE＝ ５ ２ ,所以GC＝ ５ ２ , 所以BG＝BC＋GC＝５, EA EG＝ ４ ５ ,所以EG＝ ５ ９AG． 在Rt△ABG 中,AG＝ AB２＋BG２ ＝３５, 所以EG＝ ５ ９AG＝ ５５ ３ ． 过程释疑: ❶过圆外一点所作的圆的两条切线长相等． ?  切线长定理的应用 由切线长定理可以得到等腰三角形、全等三角 形,从而可以得到相等的线段或角,这是解决有关 切线长问题时经常用到的结论． ２．如图２．２Ｇ７,∠APB＝５２°, PA,PB,DE 都为☉O 的 切线,切 点 分 别 为 A,B, F,且PA＝６． 图２．２Ｇ７ (１)求△PDE 的周长; (２)求∠DOE 的度数． ９５ 易错点　直接应用切线长 定理致误 【例】如图２．２Ｇ８,