2.1 直线与圆的位置关系-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（浙教版)

第２章　直线与圆的位置关系 ２．１　直线与圆的位置关系 知识点一　直线与圆的位置关系 直线与圆的三种位置关系 位置关系 定义 图示 相交 当直线与圆有两个公共 点 时,叫 做 直 线 与 圆 相交 相切 当直线与圆有唯一公共 点时,叫做直线与圆相 切,这条直线叫做圆的 切线,公共点叫做切点 相离 当直线与圆没有公共点 时,叫做直线与圆相离 直线与圆的位置关系定理 如果☉O 的半径为r,圆心O 到直线l的距离为d, 那么, d＜r⇔直线l与☉O 相交; d＝r⇔直线l与☉O 相切; d＞r⇔直线l与☉O 相离． 【例１】在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,AC＝６cm,BC＝ ８cm．设☉C 的半径为r,请根据下列r的值,判断AB 所在直线与☉C 的位置关系,并说明理由． (１)r＝４cm;　(２)r＝４．８cm;　(３)r＝５cm．  直线与圆相交时,这条直线 叫做圆的割线． ３４ 判断直线与圆的位置关系的 两种方法 (１)定义法:由直线与圆的 公共点的个数来判断; (２)定理法:根据直线与圆 的位置关系定理,由圆心到 直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系来判断． 'F 一条直线只 有 同 时 满 足 定 理中的两个条件“经过半径 的外端”和“垂直这条半径” 时,才是 圆 的 切 线,千 万 不 能只凭一个 条 件 就 判 定 一 条直 线 是 圆 的 切 线,如 图 ２．１Ｇ３①②所示的直线l 都 不是圆的切线． ll 　 　①　　　　 ② 图２．１Ｇ３ 图２．１Ｇ１ 解:如图２．１Ｇ１,作CD⊥AB,垂足为D． 由勾股定理,得AB＝１０cm． 由三角形的面积公式,得１ ２BC 􀅰AC＝ １ ２AB 􀅰CD,即 １ ２×８×６＝ １ ２×１０×CD , 解得CD＝４．８cm． (１)当r＝４cm 时,CD＞r,AB 所在直线与☉C 相离． (２)当r＝４．８cm 时,CD ＝r,AB 所在直线与 ☉C 相切． (３)当r＝５cm 时,CD＜r,AB 所在直线与☉C 相交． 定理法判断直线与圆的位置关系的步骤 (１)求圆心到直线的距离; (２)比较圆心到直线的距离与半径的大小; (３)由大小关系作出判断． 知识点二　圆的切线的判定 圆的切线的判定定理 文字语言 经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆 的切线 符号语言 OA 是☉O 的半径 l⊥OA 于点A }⇒直线l是☉O 的切线 图示 图２．１Ｇ２ 过圆上一点A 作☉O 的切线的步骤 (１)如图２．１Ｇ２,连结OA; (２)过点A 作直线l⊥OA,则直线l为☉O 的切线． ４４ 【例２】如图２．１Ｇ４所示,在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,点 O 在AB 上,以O 为圆心,OA 长为半径的圆与AC, AB 分别交于点D,E,且∠CBD＝∠A．求证:BD 与 ☉O 相切． 图２．１Ｇ４ 证明:连结OD(图略)． 因为OA＝OD,所以∠ODA＝∠A＝∠CBD． 因为∠C＝９０°,所以∠ODA＋∠BDC＝∠CBD＋ ∠BDC＝９０°, 所以∠ODB＝９０°,即OD⊥BD,所以BD 与☉O 相切． 证明切线的两种情况 (１)切点已知,连半径,证垂直; (２)切点未知,作垂直,证半径． 知识点三　圆的切线的性质 文字语言 经过切点的半径垂直于圆的切线 符号语言 OA 是☉O 的半径 l是过点A 的☉O 的切线}⇒OA⊥l 图示 图２．１Ｇ５ 【例３】如图２．１Ｇ５,在Rt△ABC 中,∠C＝ ９０°,BC＝３,点O 在AB 上,OB＝２,以 OB 长为半径的☉O 与AC 相切于点 D,交BC 于点F,OE⊥BC,则弦BF 的长为　　　　． 切线的三种判定方法 (１)定义法:与圆有唯一公共 点的直线是圆的切线; (２)数量关系法:若圆心到直 线的距离等于半径,则该直 线是圆的切线; (３)定理法:经过半径的外端 并且垂直这条半径的直线是 圆的切线． 'F 如果直线上的一个点到圆心 的距离等于圆的半径,那么 这条直线与圆可能相切,也 可能相交． ５４  切线的主要性质 (１)切线和圆有且只有一个 公共点; (２)圆心到切线的距离等于 圆的半径; (３)圆的切线垂直于过切点 的半径; (４)经过圆心且垂直于切线 的直线必过切点; (５)经过切点且垂直于切线 的直线必过圆心． 解析:连结OD(图略)． 因为☉O 与AC 相切,所以OD⊥AC． 又因为∠C＝９０°,OE⊥BC, 所以四边形CDOE 是矩形． 因为OD＝OB＝２,所以CE＝OD＝２． 因为BC＝３,所以BE＝１．所以BF＝２． 答案:２ 　　当已知圆的切线和切点时,通常需要连结圆心和 切点,可以得到切线与半径垂直,进而利用切线的性 质进行解题． １．已知☉O 的面积为９π,若 点O 到直线l 的距离为