1.3 解直角三角形-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（浙教版)

１．３　解直角三角形 知识点一　解直角三角形的相关概念 解直角三角形的概念 在直角三角形中,由已知的一些边、角,求出另一些 边、角的过程． 直角三角形中的边角关系 在Rt△ABC 中,∠C＝９０°,∠A,∠B,∠C 的对边依 次是a,b,c,则有: (１)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝９０°; (２)三边之间的关系:a２＋b２＝c２; (３)边角之间的关系: sinA＝ ∠A 的对边 斜边 ＝ a c ,sinB＝ ∠B 的对边 斜边 ＝ b c ; cosA＝ ∠A 的邻边 斜边 ＝ b c ,cosB＝ ∠B 的邻边 斜边 ＝ a c ; tanA＝ ∠A 的对边 ∠A 的邻边＝ a b ,tanB＝ ∠B 的对边 ∠B 的邻边＝ b a． 解直角三角形的类型及方法 图示 已知 类型 已知条件 方法与步骤 两边 斜边,一条直 角 边 (如 c, a) (１)b＝ c２－a２ ; (２)由 sin A ＝ a c , 求∠A; (３)∠B＝９０°－∠A 两条直 角 边 a,b (１)c＝ a２＋b２ ; (２)由 tan A ＝ a b , 求∠A; (３)∠B＝９０°－∠A 'F (１)在解直角三角形的问题 中,除直角外,还需知道两个 条件,其中至少有一个条件 是 边,否 则 无 法 解 直 角 三 角形． (２)解直角三角形就是把三 角形中所有的未知元素求出 来的过程,不是只求单独的 一条未知边或一个未知角, 即解直角三角形就是求出所 有的未知元素． 在 运 用 Rt△ABC (∠C ＝ ９０°)中 的 边 角 关 系 时,常 用 到下列变形: (１)锐 角 之 间 的 常 用 关 系: ∠A＝９０°－∠B,∠B＝９０°－ ∠A; (２)三边之间的常用变形: a＝ c２－b２ ,b＝ c２－a２ , c＝ a２＋b２ ; (３)边、角之间的常用变形: a＝c􀅰sinA,b＝c􀅰cosA, a＝b􀅰tanA,a＝c􀅰cosB, b＝c􀅰sinB,b＝a􀅰tanB． １２  解直角三角形的原则 (１)有斜(斜边)用弦(正弦、 余弦),无斜用切:当已知或 求解中有斜边时,就用正弦 或 余 弦;无 斜 边 时,就 用 正切． (２)宁乘勿除:当所求的元 素既可用乘 法 又 可 用 除 法 时,尽量用乘法,不用除法． (３)取原避中:当求解中既 可用原始数 据 又 可 用 中 间 数据时,则 用 原 始 数 据,尽 量避免用中间数据． 续表 图示 已知 类型 已知条件 方法与步骤 一边、 一角 (除直 角外) 斜边,一个锐 角 (如 c, ∠A) (１)∠B＝９０°－∠A; (２)由sinA＝ a c ,得a＝ c􀅰sinA; (３)由cosA＝ b c ,得b＝ c􀅰cosA 一条直角边, 一个锐角(如 a,∠A) (１)∠B＝９０°－∠A; (２)由 tan A ＝ a b ,得 b＝ a tanA ; (３)由 sin A ＝ a c ,得 c＝ a sinA 【例１】根据下列条件解直角三角形． (１)在Rt△ABC 中,∠C＝９０°,a＝５,c＝５２; (２)在Rt△ABC 中,∠C＝９０°,c＝４３,∠A＝６０°; (３)在Rt△ABC 中,∠C＝９０°,a＝６,b＝２３; (４)在Rt△ABC 中,∠C＝９０°,b＝１５,∠A＝４２°６′(精 确到０．０１)． 解:(１)因为sinA＝ a c＝ ５ ５２ ＝ ２ ２ ,所以∠A＝４５°． 所以∠B＝９０°－∠A＝４５°． 所以∠A＝∠B＝４５°,b＝a＝５． (２)因为∠A＝６０°,所以∠B＝９０°－∠A＝３０°． 因为sinA＝ a c ,所以a＝c􀅰sinA＝４３sin６０°＝６． 所以b＝ c２－a２ ＝ (４３)２－６２ ＝２３． (３)因为∠C＝９０°,a＝６,b＝２３, 所以c＝ a２＋b２ ＝ ６２＋(２３)２ ＝４３． ２２ 因为tanA＝ a b＝ ６ ２３ ＝ ３,所以∠A＝６０°． 所以∠B＝９０°－∠A＝９０°－６０°＝３０°． (４)因为∠A＝４２°６′, 所以∠B＝９０°－∠A＝９０°－４２°６′＝４７°５４′． 因为tanA＝ a b , 所以a＝b􀅰tanA＝１５tan４２°６′≈１３．５５． 又因为cosA＝ b c ,所以c＝ b cosA＝ １５ cos４２°６′≈２０．２２． 4 解直角三角形,注意三点不用愁 (１)解直角三角形时,应求出所有未知元素． (２)尽可能选择包含所求元素与两个已知元素的关系 式,这样求得的结果更精确．其中在求出一条边后求第 三条边时,可用勾股定理． (３)若需要使用计算器计算,则计算结果应符合题目 要求的精确度． 　知识点二　求非直角三角形中的边和角(拓展) 将非直角三