1.1 锐角三角函数-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（浙教版)

第１章　解直角三角形 １．１　锐角三角函数 知识点一　锐角三角函数 锐角三角函数的相关概念 (１)正弦、余弦、正切 名称 前提条件 定义 图形 符号语言 正弦 余弦 正切 Rt△ABC 中,∠A 为锐角 sinA＝ ∠A 的对边 斜边 cosA＝ ∠A 的邻边 斜边 tanA＝ ∠A 的对边 ∠A 的邻边 sinA＝ a c cosA＝ b c tanA＝ a b (２)三角函数 锐角A 的正弦、余弦和正切统称∠A 的三角函数． 锐角三角函数的范围 B CA b ac 图１．１Ｇ１ 任意锐角三角函数的值都是正实数, 如图１．１Ｇ１,在 Rt△ABC 中,a,b,c 都为正数,且a,b都小于c,所以０＜ a c＜１ ,即 ０＜sinA ＜１,同理 ０＜ cosA＜１．而 a b＞０ ,所以tanA＞０． A B C 图１．１Ｇ２ 【例１】如图１．１Ｇ２,在△ABC 中,∠C＝ ９０°,BC＝１,AC＝２,求sinA,sinB, cosA,cosB,tanA,tanB 的值． 解:在Rt△ABC 中, 因为AB＝ ２２＋１２ ＝ ５, 'F (１)sinA,cosA,tanA 都是 完整的符号． (２)在sinA,cosA,tanA 中, ∠A 的角的符号“∠”习惯上 省略不写,但对于用三个大 写英文字母和用阿拉伯数字 表示的角,角的符号不能省 略．如sin∠ABC,cos∠１． (３)正弦、余弦、正切的概念 都是 在 直 角 三 角 形 中 给 出 的,本质是两条线段的比,没 有单位,且其大小只与锐角 的大小有关,而与直角三角 形的边长无关． １ 'F (１)要学会借助两个基本直 角三角形推导３０°,４５°,６０° 角的三角函数值． (２)熟记３０°,４５°,６０°角的三 角函 数 值,以 便 用 于 计 算． 反过来,已知一个特殊角的 三角函数值,要能求出相应 的锐角． (３)sin２α 表 示 (sinα)２, cos２α 表 示 (cosα)２,tan２α 表示(tanα)２． 　所以sinA＝ BC AB＝ １ ５ ＝ ５ ５ ,sinB＝ AC AB＝ ２ ５ ＝ ２５ ５ , cosA＝ AC AB＝ ２ ５ ＝ ２５ ５ ,cosB＝ BC AB＝ １ ５ ＝ ５ ５ , tanA＝ BC AC＝ １ ２ ,tanB＝ AC BC＝ ２ １＝２． 4 求正弦、余弦、正切的三点注意 (１)记清正弦、余弦、正切的概念． (２)求直角三角形的边长时,通常会用到勾股定理;遇 到边长的比时,常设辅助参数进行求值． (３)最后结果是二次根式的要注意化简成最简二次 根式． 知识点二　特殊角的三角函数值 ３０°,４５°,６０°角的三角函数值 锐角α ３０° ４５° ６０° sinα １２ ２ ２ ３ ２ cosα ３ ２ ２ ２ １ ２ tanα ３ ３ １ ３ 【例２】计算:(１)２cos６０°＋２sin３０°＋４tan４５°; (２)cos２３０°＋tan３０°cos６０°． 解:(１)原式＝２× １ ２＋２× １ ２＋４×１＝１＋１＋４＝６． (２)原式＝ ( ３ ２ ) ２ ＋ ３ ３× １ ２＝ ９＋２３ １２ ． ２ 　　巧记特殊角的三角函数值的三种方法 (１)三角尺记忆法:如图１．１Ｇ３所示,借助三角尺记忆． 图１．１Ｇ３(２)特殊值记忆法: ３０°,４５°,６０°角的正弦值依次为 １ ２ ,２ ２ ,３ ２ ; 余弦值依次为 ３ ２ ,２ ２ ,１ ２ ;正切值依次为 ３ ３ ,３ ２ ３ ,３ ３ ３ ． (３)口诀记忆法: １,２,３;３,２,１;３,９,２７;弦比２,切比３,分子根号别忘添． 　 知识点三　同角或互余两角的正弦值、 余弦值和正切值之间的关系(拓展) 同角的三角函数的关系 如图１．１Ｇ４所示,在 Rt△ABC 中,∠C＝９０°,由锐角 三角函数和勾股定理,得sin２A＋cos２A＝ ( a c ) ２ ＋ ( b c ) ２ ＝ a２＋b２ c２ ＝ c２ c２＝１． 类似地,有下列结论: 因为tanA＝ a b ,sinA＝ a c ,cosA＝ b c ,所以sinA cosA＝ a c　 b c　 ＝ a b ,所以tanA＝ sinA cosA． 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈