3.8 弧长及扇形面积-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（浙教版)

３．８　弧长及扇形的面积


● 理解弧长公式、扇形面积公式的推导过程及意义． ● 会恰当地运用公式计算弧长及扇形的面积． ● 在探索弧长计算公式时,体会从特殊到一般的数学思想, 在推导扇形面积公式的过程中,学会类比的数学思想． J 知识点一　弧长的计算公式 １°圆心角所对的弧长 因为３６０°的圆心角所对的弧长就是圆 的周长C＝２πR,所以１°的圆心角所 对的弧长是 ２πR ３６０ ,即πR １８０． n°圆心角所对的弧长 在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对 > M  A 的弧长l为 nπR １８０． 弧 长 的 计 算 公 式 为 l＝ nπR １８０． '. 弧长公式中的两点注意 (１)在弧长公式中,n 表示１°的圆心角 的倍数,不带单位,在应用弧长公式计 算时,“n”和“１８０”都不写单位． (２)在弧长公式中,已知l,n,R 中的 任意两个量,都可以求出第三个量． 【例１】一条圆弧所对的圆心角为１５０°, 若弧长等于半径为３cm 的圆的周长, 则该弧所在圆的半径等于 ． 解析:该弧长为l＝２π×３＝６π(cm)．设 该弧 所 在 圆 的 半 径 为 R cm,则 R＝ １８０×６π １５０×π＝７．２ (cm)． 答案:７．２cm 知识点二　扇形面积的计算公式 圆心角为１°的扇形的面积 因为圆的面积是πR２,所以圆心角为 １°的扇形的面积是 πR２ ３６０． 圆心角为n°的扇形的面积 因为 圆 心 角 为 １°的 扇 形 的 面 积 是 πR２ ３６０ ,所以圆心角为n°的扇形的面积 是 πR２ ３６０ 􀅰n＝ nπR２ ３６０ ． ５３１ 扇形面积的计算公式 如图３．８Ｇ１,阴影部分的扇形的面积为 S扇形 ＝ nπR２ ３６０ ． ① 　　　　　 图３．８Ｇ１ 　 > M  A 又因为扇形的弧长l＝ nπR １８０ ,扇形的面 积 nπR２ ３６０ 可以写成 １ ２ 􀅰nπR １８０ 􀅰R, 所以扇形面积的另一个计算公式为 S扇形 ＝ １ ２lR． ② '. 扇形面积公式中的四点注意 (１)公式①中的n 与弧长公式中的n 相同,应理解为１°的倍数,不带单位, 如圆心角是１０°,n 就是１０． (２)扇形的面积公式S扇形 ＝ １ ２lR 与三 角形面积公式类似,为了便于记忆,只 要把扇形看成三角形,把弧长l看成 底,R 看成底边上的高即可． (３)当已知半径R 和圆心角的度数, 求扇形的面积时,应选用公式①;当已 知半径R 和弧长,求扇形的面积时, 应选用公式②． (４)根据扇形面积公式和弧长公式,已 知S扇形 ,l,R,n 四个量中的任意两个 量都可以求出另外两个量． 【例２】已知扇形的圆心角为１５０°,它所 对的弧长为２０πcm,求此扇形的面积． 分析:要求扇形的面积,在已知扇形的 圆心角和弧长的前提下,必须先求出 扇形的半径,可以利用弧长的计算公 式求出扇形的半径． 解:设扇形的半径为Rcm． 因为弧长l＝２０πcm,圆心角为１５０°, 所以由弧长公式,得１５０πR １８０ ＝２０π , 解得R＝２４, 所以 S扇形 ＝ １ ２lR ＝ １ ２×２０π×２４＝ ２４０π(cm２)． 4 　　求扇形的面积时,要根据已知条 件灵活选用不同的公式,本题已知弧 长,可考虑选择S扇形 ＝ １ ２lR ,但又缺 少半径R,利用弧长计算公式即可求 得R,从而可求扇形的面积． ６３１ 类型一　利用弧长公式进行 有关计算 图３．８Ｇ２ 【题根１】如图３．８Ｇ２所示,在 △ABC 中,∠ACB ＝９０°, ∠B＝１５°,以点C 为圆心, CA 为半径的圆交AB 于点 D．若lAD︵＝π,求AC 的长． 分析:已知弧长,要求半径, 必须知道该弧所对的圆 心角的度数．由题意知, 只需求出∠ACD 的度数即可． 解:如图３．８Ｇ２所示,连结CD． 因为∠B＝１５°,∠ACB＝９０°, 所以∠A＝９０°－∠B＝９０°－１５°＝７５°． 又因为CD＝CA, 所以∠CDA＝∠A＝７５°． 所以∠DCA＝１８０°－２∠A＝１８０°－ ２×７５°＝３０°． 所以lAD︵＝ ３０×π×AC １８０ ＝π． 所以AC＝６． >4 　　在求与弧长有关的计算题时,有 时需要先作出该弧所对的圆心角,再 根据弧长公式进行求解． 图３．８Ｇ３ １．图３．８Ｇ３是以点O 为圆心的 两个同心圆,大圆半径OC, OD 分别交小圆于点A,B, AB ︵ 的 长 为 ８π,CD ︵ 的 长 为 １２π,AC＝１２,求∠COD、小 圆的半径r以及大圆的半径R． 类型二　利用扇形的面积公式求 阴影部分的面积问题 【题根２】如图 ３．８Ｇ４ 所示,AC⊥BC, AC＝BC＝４,以BC 为直径作半圆,圆 心为O．以点C 为圆心,BC 为半径作