3.4 圆心角-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（浙教版)

３．４　圆心角


● 经历探索圆的中心对称性和旋转不变性的过程,体会利 用旋转来研究圆的性质的过程． ● 理解圆心角的概念,掌握圆心角定理． ● 理解１°的弧的概念,明确圆心角的度数与它所对的弧的 度数之间的关系． ● 掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,并会运用关于 圆心角、弧、弦、弦心距之间相互关系的定理解决简单的 几何问题． J 知识点一　圆心角定理 圆的中心对称性:圆是中心对称图形, 圆心就是它的对称中心．实际上,它还 是旋转对称的,圆绕圆心旋转任意一 个角度,所得的 图 形 都 能 与 原 图 形 重合． 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角． 如图３．４Ｇ１,∠COA,∠AOB 都 是 圆 心角． 图３．４Ｇ１ 圆心角定理: (１)文字叙述:在同圆或等圆中,相等 的圆心角所对的弧相等,所对的弦也 相等． (２)数学语言表述:如图３．４Ｇ２,因为 ∠AOB＝∠COD, 所以AB ︵ ＝CD ︵,AB＝CD． 图３．４Ｇ２ 【例１】如图３．４Ｇ３,已知AB 是☉O 的直 径,点 M,N 分别是AO,BO 的中点, CM⊥AB,DN⊥AB．求证:AC ︵ ＝BD ︵ ． BNOMA DC 图３．４Ｇ３ 分析:要证弧相等,可证弧所对的圆心 角相等,通过连结OC,OD,证∠COM＝ ∠DON,即可得出结论． 证明:如图３．４Ｇ３,连结OC,OD． ０１１ 因为OA＝OB,点 M,N 分别是AO, BO 的 中 点,所 以 OM ＝ON．因 为 CM⊥AB,DN ⊥AB,所以∠OMC＝ ∠OND ＝９０°．又 因 为 OC ＝ OD, 所以Rt△OCM≌Rt△ODN． 所以∠COM＝∠DON,所以AC ︵ ＝BD ︵ ． 4 　　运用圆心角定理证明弧相等或弦 相等时,找到相等的圆心角是解题的 关键．另外,在圆中,常通过连半径构 造三角形解决问题． 知识点二　圆心角所对的弧的度数 １°的弧:在一个圆中,我们把１°圆心角 所对的弧叫做１°的弧． 圆心角的度数与它所对的弧的度数的 关系:n°的圆心角所对的弧就是n° 的弧． '. (１)圆心角的度数等于它所对的弧的 度数,它与圆的半径无关,也就是说在 大小不等的两个圆中,相同度数的圆 心角所对的弧的度数相等;反过来,弧 的度数相等,它所对的圆心角的度数 也相等． (２)相等的弧(即能够重合的弧)与度数 相等(或长度相等)的弧的含义是不同 的,只有弧的度数和弧的长度都相等的 两条弧才是等弧,即等弧一定有相同的 度数且等弧只在同圆或等圆中存在． 【例 ２】 如 图 ３．４Ｇ４,在 △ABC 中, ∠ACB＝９０°,∠B＝３０°,以点C 为圆 心,CA 为半径的圆交AB 于点D．求 AD ︵ 的度数． 图３．４Ｇ４ 分析:本题欲求AD ︵ 的度 数,只需求出AD ︵ 所对的 圆心角的度数即可． 解:如图３．４Ｇ４,连结CD． 因 为 ∠ACB ＝ ９０°, ∠B＝３０°, 所以∠CAD＝９０°－３０°＝６０°． 因为CD＝CA, 所以∠CDA＝∠CAD＝６０°, 所 以 ∠DCA ＝１８０°－ (∠CDA ＋ ∠CAD)＝６０°, 所以AD ︵ 的度数为６０°． 4 　　在求解圆中某弧的度数时,一般不 能直接求解,应将所求弧的度数转化为 相应的圆心角的度数来求解,故作出弧 所对的圆心角是一种常用的方法． 知识点三　圆心角、弧、弦、 弦心距的关系 文字叙述:在同圆或等圆中,如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距 中有一对量相等,那么它们所对应的 其余各对量都相等． 数学语言表述:如图３．４Ｇ５,∠AOB＝ ∠COD ⇔AB ＝CD ⇔OE ＝OF ⇔ AB ︵ ＝CD ︵ ． 图３．４Ｇ５ 　　 > M  A １１１ '. 图３．４Ｇ６ (１)不能忽略“在同圆或等圆中”这个 前提条件,如果去掉这个前提条件,即 使圆心角相等,所对的弧、弦也不一定 相等,如图３．４Ｇ６,两个圆的圆心相同, AB ︵ 与A′B′ ︵ 对 应 同 一 个 圆 心 角,但 AB ︵ ≠A′B′ ︵,AB≠A′B′． (２)因为一条弦所对的弧有两条,所以 由“弦等”得出“弧等”,这里的“弧等”指 的是对应的劣弧与劣弧相等、优弧与 优弧相等．“等弧”是指能够完全重合的 弧,只有在同圆或等圆中才有等弧． 【例３】如图３．４Ｇ７,∠AOB＝９０°,C,D 是 AB ︵ 的三等分点,AB 分别交OC,OD 于点E,F．求证:AE＝BF＝CD． 图３．４Ｇ７ 分析:连结 AC,BD．由C,D 是AB ︵ 的 三等分点可得,AC＝CD＝BD．这样我 们可以通过证明AE＝AC,BF＝BD 来得到结论AE＝BF＝CD． 证明:如图３．４Ｇ７,连结AC,BD． 因为AC ︵ ＝CD ︵ ＝BD ︵,∠AO